ZABR с нуля
1/5SABR с гибким бэкбоном
SABR предполагает, что форвард диффундирует с волатильностью, пропорциональной Fᵝ — степенной закон. Этот единственный показатель степени β задаёт весь бэкбон. ZABR заменяет степенной закон общей функцией γ(F). Та же структура SABR, но бэкбон может принимать любую форму.
В стандартном SABR стохастическое дифференциальное уравнение (SDE) форварда имеет вид:
ZABR обобщает это, заменяя Fᵝ произвольной гладкой функцией γ(F):
SABR даёт вам один гибкий стержень: степенной закон Fᵝ. Изменение β изгибает стержень в ту или иную сторону, но форма всегда остаётся в одном семействе. ZABR позволяет заменить стержень на совершенно другой ещё до того, как вы начнёте его гнуть. Форма стержня — это бэкбон, и ZABR говорит: выберите ту форму, которая подходит вашему рынку.
Если положить γ(F) = Fᵝ, вы получите в точности SABR. ZABR — строгое обобщение. Вопрос в том, когда дополнительная гибкость действительно важна?
Функция γ функция
В SABR γ(F) = Fᵝ. В ZABR γ(F) может быть кусочной, сплайном или любой гладкой положительной функцией. Это означает, что бэкбон локальной волатильности может иметь изломы, полки, перегибы — формы, которые не даст ни один степенной закон.
Функция бэкбона γ(F) сообщает модели: насколько на каждом уровне форварда локальная волатильность чувствительна к шокам стохастической волатильности? Высокая γ(F) на определённом уровне означает, что волатильность сильно реагирует на нахождение цены на этом уровне. Низкая γ(F) — волатильность там приглушена.
SABR — Fᵝ: Монотонная функция. При β < 1 функция γ растёт сублинейно — чувствительность волатильности относительно выше при низких F. При β = 1 функция γ растёт линейно. Но она всегда гладкая, монотонная и вогнутая.
Общая функция γ(F) в ZABR: Может быть немонотонной. Может иметь полку (чувствительность волатильности насыщается при низких F). Может иметь излом (резкое изменение чувствительности на некотором ценовом уровне). Может быть кусочно-линейной, сплайном или любой параметрической формой на ваш выбор.
Перемещайте ползунок β и сравните степенной бэкбон SABR с двумя альтернативами ZABR. Бэкбон «полка» уплощается при низких F — он предполагает, что чувствительность волатильности насыщается при очень низком форварде, и это предотвращает взрыв, который SABR с низким β даёт вблизи нуля. Бэкбон «S-кривая» концентрирует чувствительность волатильности в полосе вокруг текущего форварда — это иное структурное предположение о поведении рынка.
Конструктор выше позволяет перетаскивать контрольные точки, создавая любую форму бэкбона, и видеть получающуюся улыбку. Связь между формой бэкбона и формой улыбки прямая: там, где γ(F) крутая, улыбка более выпуклая; там, где γ(F) пологая, улыбка более гладкая.
Зачем обобщать бэкбон?
На некоторых рынках встречаются улыбки, которые Fᵝ из SABR воспроизвести не может. Когда неверен сам бэкбон, никакая подстройка параметров не спасёт подгонку полностью. ZABR позволяет бэкбону адаптироваться.
Ставки около нуля. Когда процентные ставки близки к нулю или отрицательны, бэкбон SABR создаёт проблемы. При низком β член Fᵝ может давать экстремальную волатильность при низких F, порождая нереалистичные улыбки. При высоком β модель вообще не работает с отрицательными ставками. ZABR с бэкбоном вида γ(F) = (F + d)ᵝ (сдвинутый степенной закон) или с функцией tanh легко справляется с этим.
Кредитные спреды. Улыбки опционов на CDS часто имеют формы, которые SABR систематически не улавливает в левом крыле. Динамика спреда на низких уровнях (вблизи дефолта) отличается от динамики на высоких. Кусочный бэкбон способен уловить этот переход.
Волатильность рынка акций при смене режима. После сильной распродажи улыбка может приобретать особенности (изломы, дополнительную крутизну в отдельных диапазонах страйков), которые гладкий степенной закон SABR воспроизвести не может. ZABR со сплайновым бэкбоном способен уловить эти переходные особенности.
Переключитесь между двумя пресетами выше. В случае «нормального рынка» SABR и ZABR дают почти одинаковые улыбки — дополнительная гибкость ZABR не нужна. В случае «излома в левом крыле» SABR систематически пропускает излом. Бэкбон ZABR может адаптироваться и воспроизвести его.
Вывод: ZABR оправдывает себя только при систематическом несоответствии бэкбона. Если SABR калибруется хорошо, нет причин усложнять модель кастомным бэкбоном. Критерий выбора модели эмпирический: показывают ли остатки между наилучшей подгонкой SABR и рынком закономерность, которую мог бы исправить другой бэкбон?
Асимптотическое разложение
ZABR использует то же асимптотическое разложение в стиле Hagan, что и SABR, но с γ(F) вместо Fᵝ. Структура формулы идентична; меняется только функция бэкбона.
Формула SABR Hagan–Woodward (2002) — асимптотическое разложение подразумеваемой волатильности по степеням волатильности волатильности (vol-of-vol) ν и экспирации T. Ключевой строительный блок — отображение уровня форварда в пространство «нормальной волатильности» через интеграл с бэкбоном:
Остальная часть формулы Hagan — отображение z → x, поправочные члены — структурно та же. Вы заменяете каждое вхождение Fᵝ на γ(F), а каждое вхождение интеграла бэкбона — его численным значением. Разложение остаётся справедливым до того же порядка.
Почему это важно: Асимптотическое разложение работает быстро. Для каждой пары (K, T) вы вычисляете один интеграл (численно), подставляете в ту же формулу в стиле Hagan и получаете подразумеваемую волатильность. Ни PDE, ни Монте-Карло. Именно это делает ZABR практичным: скорость асимптотической формулы плюс гибкость кастомного бэкбона.
Ограничения точности: Разложение Hagan верно лишь до первого порядка по T. Для опционов с дальней экспирацией оно может быть неточным. Это то же ограничение, что и у самого SABR — разложение рассчитано на короткие и средние экспирации. Для дальних сроков нужен решатель PDE или Монте-Карло, независимо от того, используете вы SABR или ZABR.
Альтернатива: подход через PDE. Вместо асимптотического разложения можно напрямую решать PDE ценообразования ZABR. Это точнее, но медленнее. Некоторые реализации используют асимптотическое разложение как первое приближение и уточняют его поправкой через PDE.
ZABR на практике
ZABR — инструмент для специалистов. Его используют дески процентных ставок в условиях отрицательных ставок и дески экзотики там, где несоответствие бэкбона ведёт к ошибкам хеджирования. Он менее распространён, чем сдвинутый SABR, который проще и часто достаточно хорош.
Рынки ставок: Основные пользователи. Когда ставки в EUR и JPY ушли в минус, дескам понадобились модели, работающие при F < 0. Сдвинутый SABR (с γ(F) = (F + d)ᵝ) стал быстрым решением. Полный ZABR с кастомным бэкбоном — решение более высокого класса для десков, которым нужна более точная подгонка крыльев.
Ценообразование экзотики: Продукты, зависящие от траектории (CMS-кэпы, range accruals), чувствительны к форме бэкбона, потому что выплата зависит от того, как форвард проходит через разные уровни. Неверный бэкбон означает неверную динамику, а значит, неверные цены экзотики, даже если улыбка ванильных опционов подогнана. ZABR решает это, позволяя бэкбону соответствовать эмпирической динамике.
Калибровка: Подогнать γ(F) к рыночным данным сложнее, чем один параметр β. В SABR вы оптимизируете четыре параметра. В ZABR — параметры γ (это может быть сплайн со многими узлами) плюс α, ν, и ρ. Это задача большей размерности, требующая больше данных и более аккуратной регуляризации.
Когда не стоит использовать ZABR:
1. Когда SABR калибруется хорошо. Лишняя сложность без дополнительной ценности — это просто лишний риск. Если остатки SABR малы и бесструктурны, оставайтесь с простой моделью.
2. Когда данных недостаточно, чтобы ограничить бэкбон. Гибкая γ при разреженных данных ведёт к переобучению. Нужно достаточно ликвидных страйков по всей улыбке, чтобы оправдать дополнительные степени свободы.
3. Для криптовалютных поверхностей волатильности. Криптодески обычно используют SVI/SSVI для статической подгонки, и динамика бэкбона, которую даёт ZABR, им не нужна. Формы улыбок лучше описываются прямыми параметризациями, чем модификацией бэкбона стохастической волатильности.
Black-Scholes (γ = F, без стохастической волатильности) → SABR (γ = Fᵝ, стохастическая волатильность) → ZABR (γ = общая функция, стохастическая волатильность). Каждый шаг добавляет гибкость и сложность. Используйте простейшую модель, которая соответствует вашему рынку и покрывает ваши задачи хеджирования.
Куда дальше:
Модель SABR — основа, которую обобщает ZABR
Смещённая диффузия — простейший подход со сдвигом
Стохастическая локальная волатильность — альтернативный подход к гибкости бэкбона
Модель Heston — стохастическая волатильность с другим процессом дисперсии