Variance Gamma с нуля

1/5

Раздел 1

Само время случайно

Variance Gamma исходит из радикальной идеи: вместо того чтобы добавлять к диффузии скачки, сделать стохастическим само время. Броуновское движение идёт по случайным часам.

Обычное броуновское движение живёт в календарном времени: секунда за секундой, неумолимо равномерно. VG утверждает, что у рынка есть собственные внутренние часы — гамма-процесс G(t), — который то мчится вперёд, то еле ползёт. Когда часы идут быстро, броуновское движение получает больше «эффективного времени» и совершает крупные движения. Когда часы стоят на месте, цена почти не двигается.

Результат: тяжёлые хвосты возникают естественным образом из случайности часов, без явного задания распределения размера скачков. Периоды быстрых часов создают кластеры крупных движений. Медленные периоды — зловещее затишье. Именно так и выглядят тонкие крипто-книги заявок: долгие отрезки без движения, а затем внезапные всплески активности.

Процесс VG

X(t) = θ·G(t) + σ·W(G(t))

W — стандартное броуновское движение.
G(t) — гамма-процесс со средней скоростью 1 и дисперсией скорости ν. Это и есть случайные часы.
θ — дрейф внутри часов (создаёт скью).
σ — диффузионная волатильность внутри часов.

Ниже на верхней панели показан гамма-процесс G(t) — случайные часы. Пунктирная линия — календарное время (прямая диагональ). Когда G(t) поднимается выше диагонали, время бежит быстрее. На нижней панели — итоговый процесс VG: броуновское движение, взятое в случайный момент времени G(t).

Увеличьте ν, чтобы часы стали более хаотичными. Обратите внимание, как процесс VG становится «диким» — движения крупнее, кластеризация сильнее. Это и есть механизм тяжёлых хвостов.

Гамма-часы и VG-процесс

G(t) — случайные часы (гамма-процесс)

X(t) — VG-процесс: броуновское движение по случайным часам

Гамма-часы G(t)

VG-процесс X(t)

Линейное время (для сравнения)

ν (дисперсия часов)0.25

Интуиция

Представьте фильм с переменной скоростью воспроизведения. Одни сцены идут в замедленной съёмке (спокойный рынок). Другие — на перемотке вперёд (панические распродажи, каскады ликвидаций). Сама плёнка — обычное броуновское движение. Регулятор скорости — гамма-процесс. То, что видит зритель — процесс VG, — несёт в себе весь драматизм этих смен скорости.

Раздел 2

Три параметра

У VG самая ясная интерпретация параметров среди всех моделей улыбки. Каждый параметр отвечает ровно за один статистический момент. Никакой избыточности, никакой головной боли с корреляциями.

σ (сигма) — диффузионная волатильность. Волатильность броуновского движения внутри случайных часов. Задаёт общий уровень улыбки. Более высокая σ поднимает всё целиком. Это аналог волатильности в модели Блэка–Шоулза.

θ (тета) — дрейф в субординированном броуновском движении. Управляет скью. Если θ < 0, процесс дрейфует вниз внутри случайных часов, и улыбка наклоняется — путовое крыло круче коллового. Если θ = 0, улыбка симметрична.

ν (ню) — дисперсия гамма-времени. Управляет избыточным эксцессом (тяжестью хвостов). Более высокая ν делает часы более случайными, что даёт более тяжёлые хвосты и более крутые крылья с обеих сторон. Именно этот параметр отличает VG от Блэка–Шоулза.

VG-смайл подразумеваемой волатильности

VG-смайл

Плоская волатильность BS (σ)

θ задаёт направление скью

ν задаёт эксцесс / уровень крыльев

σ задаёт базовый уровень волатильности

σ (волатильность)25%

θ (скью)-0.10

ν (эксцесс)0.20

Три эксперимента:

1. Set θ = 0, ν = 0.01. Почти плоская улыбка — близко к Блэку–Шоулзу. Часы практически детерминированы.

2. Set θ = −0.15, ν = 0.20. Отрицательный скью с умеренным эксцессом. Классическая форма крипто-улыбки.

3. Set θ = 0, ν = 0.50. Симметрия, но экстремальный эксцесс. Оба крыла взлетают вверх. «Режим чёрного лебедя».

Один параметр на один момент

σ → дисперсия (2-й момент). θ → асимметрия (3-й момент). ν → избыточный эксцесс (4-й момент). Это самое чистое разделение формы улыбки среди всех моделей со скачками или стохастической волатильностью. У Хестона 5 параметров с корреляциями между ними. У VG — 3 ортогональных рычага.

Раздел 3

На самом деле это процесс чистых скачков

Хотя VG выглядит как броуновское движение с заменой времени (гладкое + растянутое), формально его траектории — чисто скачковые. Каждое движение — скачок. Непрерывной диффузионной компоненты в календарном времени нет.

Это принципиально отличается от Мертона. В модели Мертона цена бо́льшую часть времени движется гладко (диффузия), лишь изредка совершая крупные скачки. В VG любое движение разрывно. Процесс имеет бесконечную активность (бесконечно много скачков на любом интервале), но конечную вариацию (суммарный размер скачков ограничен).

Большинство этих скачков крошечные. Немногие — крупные. В пределе множества мелких скачков траектория выглядит почти непрерывной — она хорошо приближается гладкой кривой. Но при достаточном увеличении каждое движение формально оказывается скачком. Никакие две соседние цены не соединены непрерывным путём.

Чистые скачки (VG) vs диффузия + скачки (Merton)

VG — каждое движение является скачком

Merton — плавно + редкие крупные скачки

VG (ступенчатая функция — только скачки)

Merton (плавно + красные полосы = скачки)

| VG: 200 скачков (на каждом шаге)

На левой панели траектория VG изображена как ступенчатая функция — каждый шаг по времени является отдельным скачком. На правой панели — траектория Мертона с гладкой диффузией между редкими крупными скачками (красные столбцы). Нажмите «Перегенерировать» и сравните:

VG: постоянные мелкие скачки, изредка крупные. Гладких участков нет. Траектория дрожит везде.

Мертон: длинные гладкие участки, прерываемые внезапными вертикальными скачками. Два чётко различимых режима (спокойствие и шок).

Почему это важно

В чисто скачковом мире дельта-хеджирование по построению несовершенно — торговать непрерывно нельзя, потому что сама цена разрывна. Это честнее, чем у Мертона, где утверждается, что диффузионную часть можно захеджировать идеально и лишь редкие скачки не хеджируются. В тонких крипто-книгах заявок каждое исполнение — по сути скачок. VG признаёт эту реальность.

Раздел 4

Характеристическая функция

У VG есть аккуратная характеристическая функция в замкнутой форме. Именно она делает практичным фурье-прайсинг: европейские опционы можно оценивать быстро и точно без Монте-Карло.

Характеристическая функция VG

φ(u) = (1 − iuθν + ½σ²u²ν)^−T/ν

Каждый параметр входит явно:
σ входит через член u² (вклад дисперсии).
θ входит через член iu (скью через мнимую часть).
ν входит через показатель степени −T/ν и в основание (эксцесс).
When ν → 0: the exponent → −∞, и характеристическая функция сходится к логнормальной ХФ модели BS. BS — предельный случай VG.

Схема прайсинга: берём эту ХФ, подставляем в формулу Карра–Мадана (1999) или в метод COS и применяем быстрое преобразование Фурье. Цены опционов по всем страйкам получаются за один проход — без вычислений на каждый страйк и без шума симуляции.

Показатель степени −T/ν отрицателен и становится всё более отрицательным с ростом T. Это значит, что ХФ убывает быстрее для более длинных сроков, что соответствует уплощению улыбки VG со временем. Случайность часов усредняется на длинных горизонтах — естественный эффект временной структуры.

Логарифм цены базового актива в модели VG

ln S(t) = ln S(0) + (r + ω)t + X^VG(t)

ω = (1/ν)·ln(1 − θν − σ²ν/2) — поправка на выпуклость. Она гарантирует, что цена базового актива является мартингалом относительно риск-нейтральной меры (ожидаемая доходность равна r).

Раздел 5

VG на практике

VG не является отраслевым стандартом — Bates (Heston + скачки) доминирует на фондовых и криптовалютных десках. Но идея субординации из VG проявляется повсюду, и у модели есть специфические ниши.

Кредитные деривативы: VG изначально был популярен в моделировании кредитного риска. Дефолт — это скачковое событие. Природа чистых скачков VG аккуратно справляется с разрывными выплатами. Madan, Carr и Chang (1998) представили VG отчасти с прицелом на кредитный риск.

Экзотика на акции с простыми требованиями к улыбке: Когда нужна 3-параметрическая подгонка улыбки с ясной интерпретацией через моменты, VG трудно превзойти. Калибровка быстрая, потому что эффект каждого параметра однозначен.

Крипто на тонких парах: неликвидные криптопары не диффундируют плавно — они скачками переходят от одной цены к другой по мере исполнения заявок. Природа чистых скачков VG — более честное описание такого ценового поведения, чем любая диффузионная модель.

Идея субординации: идея заменить календарное время случайными часами фундаментальна. Она встречается в стохастических часах, моделях «делового времени», моделях на основе активности и в CGMY (обобщении VG). Даже если вы никогда не будете оценивать опцион по VG, понимание замены времени делает яснее любую другую модель.

Сравнение моделей

Блэк–Шоулз: плоская улыбка. Непрерывные траектории. 1 параметр.

Мертон: улыбка из редких крупных скачков. Гладкая диффузия + пуассоновские скачки. 4 параметра.

Коу: улыбка из асимметричных скачков. Независимое управление крыльями. 5 параметров.

Variance Gamma: улыбка из случайных часов. Чистые скачки, без диффузии. 3 параметра — по одному на момент.

Хестон: улыбка из стохастической волатильности. Непрерывные траектории. 5 параметров.

Бейтс: Хестон + скачки Мертона. Рабочая лошадка. 8 параметров.

Что изучить дальше:

Модель скачкообразной диффузии Мертона — диффузия + редкие крупные скачки

Модель скачкообразной диффузии Коу — асимметричные скачки с независимыми крыльями

Модель Хестона — стохастическая волатильность, другой подход к улыбкам

Модель Бейтса — Хестон + скачки: рабочая лошадка индустрии