Variance Gamma

Variance Gamma (VG): диффузии нет вообще. Цены не движутся плавно между скачками — каждое движение является скачком. Скачки происходят по случайным часам. Время идёт быстро в периоды высокой активности и медленно в спокойные периоды. Эти случайные часы порождают толстые хвосты без необходимости в «распределении размеров скачков», как в модели Merton. Полученная поверхность волатильности может одновременно соответствовать реальному рыночному скью и куртозису.

Всем управляют три параметра: волатильность (sigma), скью (theta), куртозис (nu).

💡

Идея случайных часов

У рынка есть собственные внутренние часы, идущие со случайной скоростью. Активные дни: часы тикают быстро, цены сильно движутся. Спокойные дни: часы едва движутся. VG = Black-Scholes на случайных часах. Толстые хвосты и естественная улыбка возникают сами по себе, без каких-либо предположений о крахах или размерах скачков.

Изучите параметры

Сначала попробуйте «Тонкие хвосты», чтобы увидеть режим, близкий к Black-Scholes. Затем увеличьте nu (куртозис) и понаблюдайте, как поднимаются крылья.

Исследователь улыбки Variance Gamma

Отрицательный скью плюс тяжёлые хвосты. Классическая крипто-улыбка: крутое крыло путов, приподнятое крыло коллов.

Волатильность0.45

Общий уровень волатильности. Выше = всё дороже.

θ (скью)-0.15

Отрицательное = скью путов. Определяет, какая сторона улыбки круче.

ν (эксцесс)0.30

Задаёт толщину хвостов. Выше = более экстремальные движения и круче крылья.

Выберите «Тонкие хвосты», чтобы увидеть почти плоский Блэк-Шоулз, затем увеличьте ν и посмотрите, как крылья поднимаются из-за избыточного эксцесса.

Что делает каждый параметр

• Sigma (волатильность): Базовая волатильность, когда часы тикают с нормальной скоростью. Это общий уровень — как ATM-волатильность.
• Theta (скью): Дрейф процесса. Отрицательная theta означает, что за данный временной шаг рынок склонен двигаться вниз сильнее, чем вверх. Это создаёт пут-скью — левое крыло круче правого.
• Nu (куртозис): Управляет тем, насколько «случайны» часы. Низкий nu = часы тикают равномерно (тонкие хвосты, близко к Black-Scholes). Высокий nu = часы очень нестабильны (толстые хвосты, крутые крылья). OTM-опционы становятся значительно дороже.

Параметр

Управляет

Эффект на улыбку

σ (sigma)

Уровень волатильности

Сдвигает всю улыбку вверх или вниз

θ (theta)

Скью / асимметрия

Отрицательная = крутое пут-крыло. Ноль = симметрия.

ν (nu)

Толщина хвостов

Выше = поднимаются оба крыла. Ноль = нет избыточного куртозиса (Black-Scholes).

Почему чисто скачкообразный процесс?

Black-Scholes и даже Merton предполагают наличие непрерывной диффузионной компоненты — большую часть времени цены движутся плавно, с редкими скачками. VG утверждает: возможно, всё движение цены разрывно. На уровне тиков цены перескакивают с одного уровня на следующий. Между сделками нет плавной траектории. Дельта-хеджирование несовершенно по своей конструкции — вы не можете непрерывно реплицировать выплату.

Хорошее описание того, как на самом деле работают крипторынки — особенно на низколиквидных парах, где книга заявок разрежена и цены перескакивают с уровня на уровень.

ℹ️

Три параметра, три момента

VG элегантна, потому что каждый параметр напрямую соответствует статистическому свойству доходностей. Sigma управляет дисперсией (второй момент), theta управляет асимметрией (третий момент), а nu управляет избыточным куртозисом (четвёртый момент). Никакой избыточности, никакой головной боли с корреляцией параметров.

VG в сравнении с другими моделями

Variance Gamma

Merton

Black-Scholes

Ценовая траектория

Чистые скачки (случайные часы)

Диффузия + редкие скачки

Только плавная диффузия

Поведение хвостов

Толстые хвосты из-за случайности часов

Толстые хвосты из-за дискретных скачков

Тонкие (гауссовы) хвосты

Параметры

3 (sigma, theta, nu)

4 (sigma, lambda, mu_J, sigma_J)

1 (sigma)

Форма улыбки

Плавная, управляется 3 ручками

Крутая на коротких сроках, сглаживается на длинных

Плоская (нет улыбки)

Лучше всего для

Общей подгонки улыбки, тонкой ликвидности

Событийного риска, краткосрочных опционов

Быстрой грубой оценки, ликвидных рынков

VG на практике

VG встречается реже, чем Heston или SABR, на традиционных деск, но имеет свою нишу в крипте и кредите:

Сценарий использования

Почему VG

Крипто-опционы на неликвидных парах

Чисто скачкообразная природа соответствует рваному ценовому движению. Не нужно имитировать непрерывную диффузию.

Кредитные деривативы

Дефолт — это скачкообразное событие. VG естественно обрабатывает разрывные выплаты.

Быстрая подгонка улыбки по 3 параметрам

Меньше параметров, чем у Heston (5) или Merton (4). Каждый параметр имеет ясный смысл.

Согласование моментов

Прямой контроль над дисперсией, асимметрией и куртозисом делает калибровку интуитивной.

💡

Один параметр на момент

Каждый параметр VG управляет ровно одним статистическим свойством доходностей. Самое чистое разделение скью и толщины хвостов среди любых моделей улыбки. Вега-экспозиция под VG отличается от Black-Scholes, потому что улыбка подразумеваемой волатильности не плоская. Если вам нужно больше, чем Black-Scholes, но не требуется сложность Heston или SLV, VG подойдёт.

Обозреватель уравнений

Переводите между подразумеваемой волатильностью, полной дисперсией, лог-монейностью и ценами опционов.

Исследователь формул

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Подразумеваемая вол. (σ)

%

Подразумеваемая волатильность

Время до экспирации

дн.

Календарные дни до экспирации

Полная дисперсия (w)

0.022225

Годовая дисперсия (σ²)

0.2704

IV (обратный пересчёт)

52.00%

Полная дисперсия — это то, что калибруют SVI и другие модели. Она растёт со временем: волатильность 50% на 30 дней даёт меньшую полную дисперсию, чем 50% на 90 дней.

---

Проверьте свое понимание перед тем, как продолжить.

Q: Что такое «случайные часы» в Variance Gamma и почему они порождают толстые хвосты?

Q: Если theta равна нулю, а nu высока, как выглядит улыбка?

Q: Почему VG может подходить лучше, чем Merton, для крипто-опционов на неликвидных парах?

💡 Совет: Попробуйте ответить на каждый вопрос самостоятельно, прежде чем открывать ответ.

Формирование математической интуиции

Изучить Variance Gamma с нуляИнтерактивный урок · без предварительных знаний

Этот урок объясняет Variance Gamma через ментальную модель случайных часов, а затем показывает, как theta, sigma и nu управляют скью, обычным размером движения и толщиной хвостов.

---

См. также:

• Black-Scholes — Базовая модель только с диффузией
• Merton Jump-Diffusion — Диффузия плюс скачки
• Heston Model — Стохастическая волатильность (на основе диффузии)
• Interpolation Methods — Сравнение всех моделей