Ванна-волга с нуля

1/5

Раздел 1

Три ликвидных опциона задают цену всему

Ванна-Волга строит всю улыбку ровно из трёх рыночных котировок: 25Δ пут, ATM-стрэддл и 25Δ колл. Это весь набор входных данных. Всё остальное выводится из них.

На валютном рынке дилеры не котируют цены опционов по страйкам. Они котируют три показателя:

ATM vol (σ_ATM). Волатильность ATM-стрэддла. Задаёт общий уровень улыбки.

25Δ risk reversal (RR). Разница между волатильностью 25-дельтового колла и 25-дельтового пута. Отражает скью — насколько наклонена улыбка.

25Δ butterfly (BF). Среднее волатильностей 25-дельтового пута и колла минус ATM-волатильность. Отражает кривизну — насколько оба крыла приподняты над ATM.

Из этих трёх чисел можно восстановить отдельные волатильности:

Восстановление трёх волатильностей

σ_25P = σ_ATM + BF − RR/2

σ_25C = σ_ATM + BF + RR/2

RR > 0 означает, что коллы дороже путов (положительный скью). BF > 0 означает, что крылья выше ATM (на практике всегда так).

Метод Ванна-Волга берёт эти три ликвидные опорные точки и строит полную улыбку, отвечая на вопрос: как дешевле всего захеджировать риск улыбки любого целевого опциона этими тремя инструментами?

Ментальная модель

Представьте ATM, RR и BF как три ручки на микшерном пульте. ATM — общая громкость. RR — баланс (лево/право). BF — усиление громкости (обе стороны). Три ручки — одна улыбка.

Раздел 2

Что такое ванна и волга?

Ванна и волга — два грека второго порядка, существование которых Блэк-Шоулз игнорирует. Они измеряют чувствительность к риску улыбки: перекрёстный эффект между спотом и волатильностью (ванна) и выпуклость по волатильности (волга).

Vanna = ∂²V / ∂S∂σ. Это чувствительность дельты к изменению волатильности или, что то же самое, чувствительность веги к изменению спота. Двигается волатильность — сдвигается дельта. Двигается спот — сдвигается вега. Оба эффекта — это ванна.

Ванна максимальна вблизи ATM и антисимметрична относительно форварда. Для путов (левое крыло) ванна положительна: при росте волатильности дельта пута становится более отрицательной (глубже в деньгах в вероятностном смысле). Для коллов (правое крыло) ванна отрицательна.

Volga = ∂²V / ∂σ². Это гамма по волатильности — выпуклость цены опциона по волатильности. Опцион с положительной волгой выигрывает от движения волатильности в любую сторону.

Волга максимальна в крыльях и симметрична относительно форварда. И путы, и коллы глубоко вне денег (OTM) имеют большую положительную волгу. У ATM-опционов волга почти нулевая.

Профили ванны и волги

Ванна (∂²V/∂S∂σ) -- пик около ATM, антисимметрична

Волга (∂²V/∂σ²) -- пики на обоих крыльях, симметрична

График выше показывает оба профиля по страйкам. Блэк-Шоулз предполагает плоскую улыбку, поэтому оценивает экспозицию по ванне и волге как бесплатную. Но на реальном рынке с улыбкой держать экспозицию по ванне и волге не бесплатно — у неё есть цена, и эта цена и есть та поправка на улыбку, которую вычисляет метод Ванна-Волга.

Почему именно эти два грека?

Дельта и гамма — эффекты первого порядка, которые учитывает Блэк-Шоулз. Вега — чувствительность первого порядка к волатильности, которую BS тоже учитывает (хотя модель предполагает постоянную волатильность, вега в ней есть). Эффекты второго порядка по волатильности — как дельта меняется с волатильностью (ванна) и как вега меняется с волатильностью (волга) — это ровно то, что кодирует улыбка. Улыбка — не что иное, как рыночная цена риска ванны и волги.

Раздел 3

Аргумент репликации

Ключевая идея: собрать портфель из трёх ликвидных бенчмарк-опционов, повторяющий ванну и волгу целевого опциона. Стоимость этого хеджирующего портфеля сверх его цены по Блэку-Шоулзу — и есть поправка на улыбку.

Возьмите целевой опцион с произвольным страйком K. Рассчитайте его ванну и волгу по Блэку-Шоулзу (с ATM-волатильностью). Теперь найдите веса (x₁, x₂, x₃) для трёх бенчмарк-опционов, такие что:

Условия репликации

x₁·Vanna_25P + x₂·Vanna_ATM + x₃·Vanna_25C = Vanna_target

x₁·Volga_25P + x₂·Volga_ATM + x₃·Volga_25C = Volga_target

x₁·Vega_25P + x₂·Vega_ATM + x₃·Vega_25C = Vega_target

Три уравнения, три неизвестных. Третье условие (совпадение веги) гарантирует, что хедж корректен и при параллельных сдвигах волатильности.

Получив веса, вычисляем VV-цену:

Ценообразование Ванна-Волга

C_VV = C_BS + Σ xᵢ · (Cᵢ^mkt − Cᵢ^BS)

Начинаем с цены BS. Добавляем стоимость хеджирования риска улыбки тремя бенчмарками. «Цена улыбки» каждого бенчмарка — разница между его рыночной ценой и ценой по BS.

Трёхточечная репликация

Целевой страйк95

25Δ пут: вес

0.487

Вес ATM

0.513

25Δ колл: вес

0.000

Перетащите целевой страйк в виджете выше и посмотрите, как меняются веса репликации:

Цель около 25Δ пута: Почти весь вес приходится на пут-бенчмарк. ATM- и колл-бенчмарки вносят мало.

Цель около ATM: Доминирует ATM-бенчмарк. Поправка мала, потому что вблизи ATM BS почти точен.

Цель между бенчмарками: Веса плавно интерполируются. Улыбка на любом промежуточном страйке — взвешенная комбинация трёх опорных точек.

Раздел 4

Формула

Если явно выписать веса репликации, VV-поправка аккуратно распадается на два слагаемых: поправка по ванне, создающая скью, и поправка по волге, создающая кривизну.

Разложение VV

C_VV = C_BS + Δvanna · (σ_25P − σ_ATM) + Δvolga · (σ_25C − σ_ATM)

Слагаемое ванны: пропорционально риск-реверсалу. Антисимметрично — добавляет к путам, вычитает у коллов.
Слагаемое волги: пропорционально бабочке. Симметрично — одинаково добавляет к обоим крыльям.

Из-за этого разложения метод и называется Ванна-Волга. Вся поправка на улыбку объясняется двумя эффектами:

Поправка по ванне антисимметрична относительно ATM. Её задаёт котировка риск-реверсала. Когда рынок котирует большой отрицательный RR (путы дороже коллов), поправка по ванне наклоняет улыбку влево. Для путов глубоко вне денег (OTM) поправка максимальна и положительна (добавляет премию). Для коллов глубоко вне денег она отрицательна (убирает премию).

Поправка по волге симметрична относительно ATM. Её задаёт котировка бабочки. Когда рынок котирует большой BF, поправка по волге поднимает оба крыла. ATM не затрагивается (волга там близка к нулю). Чем дальше в крылья, тем больше поправка.

Разложение коррекции: BS + Ванна + Волга = VV

Коррекция ванны (антисимметричная — создаёт скью)

Коррекция волги (симметричная — создаёт кривизну)

Суммарная коррекция VV

Диаграмма с накоплением выше показывает обе поправки по страйкам. Обратите внимание:

Синие столбцы (ванна) отрицательны слева и положительны справа — это компонента скью.

Оранжевые столбцы (волга) положительны во всех крыльях — это компонента кривизны.

Зелёная линия — суммарная поправка. На стороне путов ванна и волга усиливают друг друга (обе добавляют премию). На стороне коллов они частично компенсируются (ванна вычитает, волга добавляет). Поэтому крыло путов обычно круче крыла коллов.

Раздел 5

Валютные дески его любят, фондовые — нет

Ванна-Волга — доминирующая модель улыбки на валютном рынке, потому что рынок FX буквально котирует ATM, RR и BF. Входные данные модели — родной язык этого рынка. На рынках акций и криптовалют котируются сами страйки, и трёхточечное допущение VV оказывается слишком жёстким.

Почему FX его любит: Межбанковский рынок валютных опционов стандартизировал котировочные конвенции, которые напрямую отображаются на входы Ванна-Волга. Дилер видит ATM = 8.2, RR = -1.3, BF = 0.4 и сразу получает три волатильности для VV. Без калибровки. Без оптимизатора. Чистая алгебра.

Для ванильных валютных опционов на стандартных дельтах VV быстр, точен и свободен от арбитража. Для экзотики первого поколения (one-touch, double no-touch) VV даёт грубые, но на удивление близкие к полным моделям цены.

Почему акции и крипто — нет: Биржевые опционы на акции и криптовалюты дают полную сетку цен по множеству страйков и экспираций. Точек данных гораздо больше трёх. Подгонка трёхпараметрической модели к тридцати страйкам выбрасывает информацию.

Хуже того, VV-улыбка недостаточно гибка, чтобы воспроизвести реальные формы на рынках акций и криптовалют. Крутые скью на коротких сроках, меняющаяся с экспирацией выпуклость крыльев, временная структура бабочки — ничего из этого три числа не описывают.

На таких рынках SVI, SSVI или SLV подходят лучше: они способны впитать всё богатство наблюдаемой поверхности волатильности.

Польза для интуиции

Даже на десках, где VV не используется для боевого прайсинга, он ценен как ментальная модель. «Этот опцион стоит дороже BS из-за ванны и волги» — исчерпывающее объяснение того, почему существуют улыбки. Разложение на скью (ванна) и кривизну (волга) помогает трейдерам понимать, что определяет цену любого опциона — даже когда фактический прайсинг делается более сложной моделью.

Расширения: Базовый метод VV использует 25-дельтовые бенчмарки. Некоторые дески расширяют его до пяти точек (добавляя 10-дельтовые пут и колл), чтобы лучше ловить поведение крыльев. Другие используют «VV второго порядка» с греками более высоких порядков. Но на этом этапе вы уже строите более сложную модель — проще взять SVI.

В крипте: Каркас VV иногда используют для быстрых прикидок в уме — «сколько должен стоить этот OTM-пут при данных рыночных RR и BF?» — но это не боевая модель. Поверхности волатильности в крипте слишком шумные и слишком крутые для трёхточечной интерполяции. Ценность концептуальная, а не операционная.

Куда дальше:

Блэк-Шоулз — базовая модель, которую корректирует VV

Справочник по грекам — полный разбор ванны, волги и других чувствительностей второго порядка

Параметризация SVI — альтернатива на основе страйков для улыбок акций и крипты

Стохастическая локальная волатильность — боевая модель для прайсинга экзотики