SVI с нуля

1/5

Раздел 1

Что такое SVI?

SVI расшифровывается как Stochastic Volatility Inspired. Это формула с 5 параметрами, описывающая форму улыбки волатильности для одной экспирации.

Большинство моделей улыбки работают в пространстве подразумеваемой волатильности. SVI устроена иначе: она параметризует полную подразумеваемую дисперсию как функцию лог-монейности. Это может показаться лишним шагом, но именно он делает арбитражные ограничения предельно простыми.

Формула:

Полная дисперсия SVI

w(k) = a + b(ρ(k − m) + √((k − m)² + σ²))

w(k) is total implied variance = σ_imp² · T. k = ln(K/F) is log-moneyness. Five parameters: a, b, ρ, m, σ.

Двигайте ползунки ниже, чтобы увидеть, как меняется кривая полной дисперсии. По оси X — лог-монейность (отрицательная = путы вне денег (OTM), положительная = коллы вне денег (OTM)). По оси Y — полная подразумеваемая дисперсия.

Полная дисперсия w(k)

a (level)0.040

Overall variance level — shifts the entire curve up or down

b (angle)0.250

Wing steepness — higher b means steeper wings

ρ (rotation)-0.40

Skew direction — negative = put skew, positive = call skew

m (translation)0.00

Horizontal shift of the smile minimum

σ (smoothing)0.200

Roundness at ATM — small = sharp V, large = smooth U

Почему именно «полная дисперсия»?

Black-Scholes использует подразумеваемую волатильность (σ_imp). Но волатильность зависит и от формы улыбки, и от времени до экспирации. Полная дисперсия w = σ_imp² · T выносит время за скобки, оставляя величину, монотонно растущую со сроком. Именно эта монотонность нужна для отсутствия календарного арбитража.

Раздел 2

5 параметров

Каждый параметр отвечает за один геометрический аспект улыбки. Переключайте их по очереди и смотрите, что меняется.

Пунктирная линия — базовая улыбка (типичный путовый скью). Сплошная цветная линия показывает, что происходит при изменении выделенного параметра. Всё остальное фиксировано.

a -- overall variance level

Shifts the entire curve up or down uniformly. Higher a means higher implied volatility everywhere. Think of it as a baseline variance that applies to all strikes.

a (level)0.040

По умолчанию: 0.040Пунктир = базовая кривая

Поведение крыльев: вдали от ATM улыбка стремится к прямым линиям. Наклон путового крыла — b(1 − ρ), наклон коллового — b(1 + ρ). При типичном путовом скью (ρ < 0) левое крыло круче.

Асимптотические наклоны

Put wing: b(1 − ρ)     Call wing: b(1 + ρ)

Ограниченные линейные крылья — одно из ключевых преимуществ SVI. Улыбка никогда не экстраполируется в абсурдные значения.

Раздел 3

От дисперсии к волатильности

SVI даёт полную дисперсию w(k). До привычной улыбки IV остаётся всего один квадратный корень.

От дисперсии к IV

σ_BS(k) = √(w(k) / T)

Разделите полную дисперсию на время до экспирации и извлеките квадратный корень. Получите подразумеваемую волатильность для каждого страйка.

Ниже обе кривые построены по одним и тем же параметрам SVI. Слева — полная дисперсия (пространство, в котором работает SVI). Справа — улыбка подразумеваемой волатильности (пространство, в котором мыслят трейдеры). Двигайте ползунки и наблюдайте, как обе кривые обновляются одновременно.

Полная дисперсия w(k)

Подразумеваемая волатильность (%)

a (level)0.040

Overall variance level — shifts the entire curve up or down

b (angle)0.250

Wing steepness — higher b means steeper wings

ρ (rotation)-0.40

Skew direction — negative = put skew, positive = call skew

m (translation)0.00

Horizontal shift of the smile minimum

σ (smoothing)0.200

Roundness at ATM — small = sharp V, large = smooth U

Обратите внимание: кривая дисперсии более гладкая и «V-образная», чем кривая волатильности. Квадратный корень сжимает большие значения и растягивает малые, поэтому улыбка волатильности выглядит более скруглённой.

Почему это важно на практике: при подгонке SVI оптимизация идёт в пространстве дисперсии (где живёт формула), а качество подгонки оценивается по остаткам в IV (где котируют трейдеры).

Раздел 4

Ограничения безарбитражности

Не все комбинации параметров SVI допустимы. Некоторые создают улыбки, нарушающие условия отсутствия арбитража. Используйте виджет ниже, чтобы нащупать границу.

Есть три ключевых ограничения. Нарушение любого из них означает возможность безрисковой прибыли — а значит, такая улыбка не может быть истинной рыночной ценой риска.

Ограничение по бабочке

b(1 + |ρ|) ≤ 4/T

Не допускает отрицательную локальную дисперсию. Если условие нарушено, спреды-бабочки имеют отрицательную стоимость — бесплатные деньги.

Неотрицательный минимум

a + bσ√(1 − ρ²) ≥ 0

Минимум улыбки должен быть выше нуля. Отрицательная полная дисперсия физически невозможна.

Моментная формула Roger Lee

b(1 + |ρ|) ≤ 2

Ограничивает скорость роста крыльев. На практике ограничение по бабочке жёстче для краткосрочных опционов.

Попробуйте пресеты ниже, затем двигайте ползунки, чтобы найти границы. Кривая становится красной при нарушении любого ограничения.

Butterfly: b(1+|ρ|) = 0.260 ≤ 48.7Min variance: 0.0782 ≥ 0Lee moment: b(1+|ρ|) = 0.260 ≤ 2

Арбитража нет — этот смайл безопасен

a (level)0.040

b (angle)0.200

ρ (rotation)-0.30

m (translation)0.00

σ (smoothing)0.200

Раздел 5

Калибровка

По наблюдаемым на рынке подразумеваемым волатильностям подберите 5 параметров SVI, которые лучше всего их воспроизводят. Попробуйте вручную.

Оранжевые кружки — синтетические рыночные котировки: реалистичная улыбка BTC при 30 DTE. Зелёная кривая — подгонка SVI. Вертикальные линии показывают остаток (ошибку) в каждой точке.

Настройте ползунки так, чтобы минимизировать RMSE. Нажмите «Показать лучшую подгонку», чтобы увидеть близкий к оптимальному набор параметров.

RMSE44.82%(Плохо)

Подгонка SVIРыночные данныеОстаток

a (level)0.040

b (angle)0.150

ρ (rotation)-0.10

m (translation)0.00

σ (smoothing)0.250

На практике: численный оптимизатор (Levenberg-Marquardt или SLSQP) делает это менее чем за 10 мс на экспирацию. Он минимизирует взвешенную сумму квадратов остатков с учётом арбитражных ограничений из Раздела 4.

Инициализация важна: неудачное начальное приближение может завести оптимизатор в локальный минимум. Типичный подход: a — из дисперсии ATM, b — из наблюдаемого наклона крыла, ρ ≈ −0.3, m ≈ 0, σ ≈ 0.1.

Что изучить дальше:

Справочная страница SVI — полная таблица параметров, детали подгонки, варианты

ORC Wing (Jump-Wing) — репараметризация SVI для трейдеров

SSVI — расширение SVI на всю поверхность