Стохастическая локальная волатильность с нуля

1/5

Раздел 1

Локальная волатильность даёт верные цены, но неверную динамику

Модель локальной волатильности Дюпира делает нечто примечательное: она идеально калибруется под каждую цену ванильного опциона на рынке, одновременно. Нулевая ошибка калибровки. Загвоздка в том, что происходит дальше.

Локальная волатильность задаёт единственную волатильность σ(S, t) для каждого уровня спота и каждого момента времени. По наблюдаемой поверхности цен ванильных опционов существует ровно одна функция локальной волатильности, воспроизводящая их все. Построение детерминировано — без оптимизации, без остаточной ошибки.

Локальная волатильность Дюпира

dS = σ_loc(S, t) · S · dW

Одно броуновское движение. Одно СДУ. Вся улыбка закодирована в функции σ_loc(S, t).

Так что же не так? Динамика. Локальная волатильность предсказывает, как улыбка будет эволюционировать при движении спота, — и сильно ошибается в этом прогнозе.

Когда спот падает на 5%, локальная волатильность говорит, что улыбка должна уплоститься на левом крыле. Модель видит более низкий спот и обращается к другому срезу σ_loc, который там оказывается более плоским. Но на реальном рынке происходит обратное: распродажа на 5% заставляет улыбку стать круче — потому что растёт реализованная волатильность и увеличивается спрос на защиту от падения.

Ментальная модель

Локальная волатильность — идеальная фотография сегодняшней улыбки. Но фотографии не двигаются. Когда спот смещается, локальная волатильность предсказывает новую улыбку, обращаясь к другому столбцу той же статичной таблицы. Рынок же тем временем переоценил всю таблицу.

Для экзотики это важно. Барьерный опцион зависит от того, как выглядит улыбка, когда спот находится вблизи барьера, — а не только от того, как она выглядит сегодня. Если модель предсказывает неверную будущую улыбку, она неверно оценивает барьер и неверно его хеджирует.

Раздел 2

Стохастическая волатильность даёт верную динамику, но неверные цены

Heston, SABR и их родственники трактуют волатильность как случайную величину с собственным стохастическим процессом. Это даёт реалистичную эволюцию улыбки: когда спот падает, волатильность растёт, и улыбка становится круче. Но подгонка под сегодняшние ванильные цены в лучшем случае приблизительная.

У модели вроде Хестона пять свободных параметров. Пять чисел не могут одновременно воспроизвести сотни наблюдаемых цен опционов по всем страйкам и экспирациям. Подгонка — всегда компромисс: приемлемая вблизи ATM и всё хуже на крыльях.

Можно добавить параметры (двойной Хестон, модель Бейтса со скачками), но полностью закрыть разрыв не удастся. Всегда остаётся калибровочный остаток. Для оценки ванильных опционов и маркетмейкинга этот остаток — упущенные деньги.

Улыбка после движения спота на −5%: три прогноза

Prices right, dynamics wrong

Dynamics right, prices wrong

Best of both worlds

Текущая улыбка

Прогнозируемая улыбка после движения спота

Три панели выше рассказывают всю историю. После падения спота на 5%:

Локальная волатильность предсказывает уплощение улыбки — неверно.

Стохастическая волатильность предсказывает, что улыбка становится круче -- верно, но обратите внимание, что изначально она не совпадала с сегодняшней улыбкой идеально.

SLV даёт и то, и другое: стартует с идеальной подгонки сегодня и эволюционирует реалистично.

Дилемма трейдера

Если вы котируете ванильные опционы, выигрывает локальная волатильность — она оценивает их точно. Если вам важно, как ведёт себя ваша книга при движении спота, выигрывает стохастическая волатильность — она даёт реалистичные греки. Для оценки экзотики нужно и то, и другое. Здесь и появляется SLV.

Раздел 3

SLV объединяет оба подхода

Стохастическая локальная волатильность запускает два движка параллельно. Компонента локальной волатильности отвечает за калибровку. Стохастическая компонента добавляет реалистичную динамику. Коэффициент смешивания α управляет балансом.

Система SLV

dS = σ_loc(S, t) · L(S, t) · S · dW₁

dL = ν · L · dW₂

First line: диффузия спота объединяет функцию локальной волатильности σ_loc со стохастическим рычагом L.
Second line: L следует собственной диффузии, управляемой vol-of-vol ν.
Special cases: когда ν = 0, L детерминирован, и вы получаете чистую локальную волатильность. Когда σ_loc постоянна, вы получаете чистую стохастическую волатильность. Коэффициент смешивания α определяет, какая часть общей дисперсии приходится на каждую компоненту.

Интуиция: σ_loc(S, t) — функция Дюпира, уже откалиброванная по рынку. Умножение на стохастический множитель L возмущает динамику, не разрушая калибровку, — при условии, что L откалиброван так, что возмущение усредняется. Именно эту калибровку L и выполняет функция левериджа.

Коэффициент смешивания α (часто встроенный в параметр vol-of-vol) определяет, сколько случайности уходит в L, а сколько остаётся в σ_loc. В одном крайнем случае (α = 0) вся дисперсия объясняется локальной волатильностью, а динамика улыбки детерминирована. В другом крайнем случае (α = 1) локальная волатильность плоская, и всё определяется стохастическим процессом.

Исследование коэффициента смешивания

α (смешивание)0.50

α=0: чистая локальная вол.α=1: чистая стохастическая вол.

Текущая улыбка

Прогноз улыбки после движения спота на −5%

Подвигайте ползунок выше. Следите за прогнозируемой будущей улыбкой:

α = 0 (чистая локальная волатильность): Будущая улыбка почти не меняется относительно сегодняшней. Левое крыло слегка уплощается. Это патология локальной волатильности.

α = 1 (чистая стохастическая волатильность): Будущая улыбка резко становится круче. Волатильность подскакивает по всему диапазону. Это реалистично, но может давать избыточную коррекцию.

α = 0.5 (сбалансированно): Золотая середина. Улыбка становится круче, но умеренно. Именно сюда попадает большинство рабочих калибровок.

Раздел 4

Функция левериджа

L(S, t) — калибровочный клей. Она вычисляется так, чтобы ожидаемая локальная волатильность — усреднённая по всем стохастическим траекториям — соответствовала рынку. При сбалансированном смешивании L везде близка к 1. Когда доминирует одна из компонент, L приходится работать усерднее.

Формально L(S, t) определяется условием:

Калибровка функции левериджа

σ_loc(S, t)² = E[σ_loc(S, t)² · L(S, t)² | S_t = S]

Ожидаемая эффективная дисперсия при условии заданного спота должна равняться локальной дисперсии Дюпира. Это фиксирует L в каждой точке (S, t).

На практике L вычисляется численно: либо через прямое УЧП (Фоккера — Планка), либо методом частиц (Монте-Карло с оценкой плотности). Прямое УЧП переносит совместную плотность (S, L) вперёд во времени и извлекает L в каждом узле сетки. Метод частиц моделирует множество траекторий, группирует их по уровням спота и находит L внутри каждой группы.

Ключевая мысль: когда α близок к 0.5, L везде близок к 1, потому что обе компоненты равномерно делят нагрузку. Когда α близок к 0 или 1, у L появляется структура — пики на крыльях, впадины около ATM — потому что одна компонента выполняет почти всю работу, а L должен это компенсировать.

Тепловая карта функции левериджа

α (смешивание)0.50

Сбалансированное смешивание (α ≈ 0.5): L остаётся близко к 1. Экстремальное смешивание: L отклоняется, чтобы компенсировать.

Тепловая карта выше показывает L(S, t) по споту и времени. Подвигайте ползунок смешивания и наблюдайте:

Сбалансировано (α ≈ 0.5): Равномерный тёмный цвет. L примерно равна 1 везде. Обе компоненты вносят одинаковый вклад. Это идеальная рабочая точка.

С доминированием локальной волатильности (α ≈ 0): У L появляются тёплые (оранжево-красные) области на крыльях. У стохастической компоненты почти нет собственной дисперсии, поэтому L приходится брать на себя основную работу, чтобы соответствовать рынку.

С доминированием стохастической волатильности (α ≈ 1): У L появляются холодные (синие) области. Стохастическая компонента в некоторых зонах перебарщивает, и L приходится её сдерживать.

Раздел 5

Стандарт оценки экзотики

SLV — это то, что крупные банки реально используют для барьерных, азиатских опционов и кликетов. Это производственный стандарт, потому что это единственная модель, которая одновременно калибруется по ванильным опционам и даёт обоснованные цены экзотики.

Барьерные опционы. Нок-аут опцион перестаёт существовать, когда спот касается барьера. Его стоимость критически зависит от того, как выглядит улыбка вблизи уровня барьера. Локальная волатильность даёт там неверную улыбку. Стохастическая волатильность даёт верную динамику, но неверные стартовые цены. SLV даёт и то, и другое — и итоговая цена барьерного опциона может отличаться от локальной волатильности на несколько процентов номинала.

Азиатские опционы. Азиатский опцион усредняет спот за период. Усреднение сглаживает эффект динамики улыбки, поэтому разница между SLV и локальной волатильностью здесь меньше. Но она всё же не нулевая, и дески, торгующие крупными номиналами, её учитывают.

Кликеты. Опционы с форвардным стартом, которые периодически сбрасываются. Они крайне чувствительны к форвардной улыбке -- к тому, как улыбка будет выглядеть на каждую дату сброса. Преимущество SLV здесь наибольшее, потому что кликеты по сути являются ставкой на динамику улыбки.

Цена сложности

SLV не даётся бесплатно. Функцию левериджа нужно пересчитывать при каждом изменении параметров стохастической волатильности, что делает калибровку итеративным процессом: подобрать параметры стохастической волатильности, вычислить L, проверить подгонку по ванильным опционам, скорректировать, повторить. Этот внешний цикл вычислительно дорог и вносит модельный риск в выбор α.

Выбор коэффициента смешивания сам по себе является субъективным решением. Разные α значения дают разные цены экзотики при совпадении тех же ванильных опционов. Банки обычно задают α путём калибровки к ликвидным экзотическим сделкам (например, барьерным разворотам в FX) или на основе экспертного суждения о том, насколько динамика улыбки важна для их портфеля.

Модельный риск. Коэффициент смешивания — самый важный параметр модельного риска в производственной оценке экзотики. Два деска, использующие SLV с разными значениями α, будут сходиться по всем ванильным опционам, но расходиться по барьерным. Это не баг — это отражение реальной неопределённости в том, как будет эволюционировать улыбка.

В крипте: SLV встречается реже, поскольку рынок экзотики меньше, а сама поверхность ванильных опционов зашумлена. Большинство криптодесков используют SVI или SSVI для подгонки поверхности, а локальную волатильность или прямое моделирование — для продуктов, зависящих от траектории. По мере созревания рынка криптоопционов SLV станет более актуальной.

Куда двигаться дальше:

Local Volatility — модель Дюпира в деталях

Heston Model — самый распространённый движок стохастической волатильности внутри SLV

SABR Model — стохастическая волатильность без возврата к среднему, популярна на рынке ставок

Vanna-Volga — более простое построение улыбки по трём рыночным котировкам