Стохастическая локальная волатильность (SLV)

SLV — это то, что используют большинство продакшн-десков. Модель совмещает локальную и стохастическую волатильность. По отдельности ни одна из них не годится для реальной торговли. Цель — поверхность волатильности, которая соответствует сегодняшнему рынку и движется реалистично.

💡

Локальная волатильность подгоняет сегодняшний рынок; стохастическая — правильно двигается; SLV делает и то, и другое

Локальная волатильность идеально воспроизводит сегодняшнюю улыбку, но ошибается в динамике (улыбка слишком сильно смещается вместе со спотом). Стохастическая волатильность правильно передаёт динамику, но ошибается в форме улыбки (недостаточный скью). SLV смешивает их.

Смешивание в действии

Перетащите ползунок между чистой локальной и чистой стохастической волатильностью.

Демо смешивания SLV

Сбалансированная смесь. Именно так на практике работает большинство продакшн-десков. Лучшее из обоих подходов.

Коэффициент смешивания0.50

0 = чистая локальная вол.50% Local / 50% Stochastic1 = чистая стохастическая вол.

Зелёная кривая SLV — это смесь оранжевой улыбки локальной волатильности и синей улыбки стохастической волатильности. Большинство десков работает около 50/50.

Что вы видите

• Оранжевая пунктирная линия (локальная волатильность): Улыбка локальной волатильности Дюпира. Крутая, реалистичная форма — она идеально совпадает с сегодняшним рынком. Но она подразумевает, что улыбка почти не смещается при движении спота, а это неверно.
• Синяя пунктирная линия (стохастическая волатильность): Улыбка в стиле Хестона. Более гладкая, с меньшим скью. Она хорошо предсказывает движение улыбки, но сама по себе не может воспроизвести текущую форму рынка.
• Зелёная сплошная линия (смесь SLV): Продакшн-модель. Взвешенная смесь обеих. При соотношении 50/50 вы получаете улыбку, которая соответствует сегодняшнему рынку и движется реалистично.

Почему бы не использовать только одну модель?

Модель

Подгоняет сегодняшний рынок?

Правильная динамика?

Готова к продакшну?

Локальная волатильность (Дюпир)

Идеально

Неверная

Редко в одиночку

Стохастическая волатильность (Хестон)

Приблизительно

Хорошая

Иногда

SLV (смесь)

Идеально

Хорошая

Да

Как работает смешивание

Берётся модель стохастической волатильности (например, Хестон), и её подразумеваемая волатильность умножается на функцию левериджа, выведенную из локальной волатильности. Функция левериджа — это тот коэффициент, благодаря которому смесь в точности соответствует сегодняшнему рынку.

• Коэффициент смешивания около 0 (преобладает локальная волатильность): Основную работу выполняет функция левериджа. Улыбка подгоняется идеально, но движется нереалистично.
• Коэффициент смешивания около 1 (преобладает стохастическая волатильность): Функция левериджа почти плоская (близка к 1 везде). Улыбка может подгоняться неидеально, но динамика реалистична.
• Коэффициент смешивания около 0,5: Золотая середина, к которой стремятся большинство десков. Хорошая подгонка, хорошая динамика.

ℹ️

Всю калибровку выполняет функция левериджа

Функция левериджа $L(S, t)$ поглощает всё то, что не может объяснить стохастическая компонента волатильности. Плоская функция левериджа = всю работу выполняет стохастическая волатильность. Сильно изменчивая = всю работу выполняет локальная волатильность. В продакшне желательно, чтобы она плавно менялась около ATM — это означает сбалансированную смесь.

Когда важен коэффициент смешивания?

Для ванильных европейских опционов он почти не важен — любая смесь, воспроизводящая сегодняшнюю улыбку, оценивает их одинаково. Коэффициент смешивания важен для зависящих от траектории продуктов, где динамика улыбки влияет на цену. Хеджи по дельте и веге для экзотических продуктов могут существенно различаться при разных коэффициентах смешивания.

Продукт

Чувствительность к смешиванию

Почему

Ванильный европейский

Отсутствует

Цена зависит только от сегодняшней улыбки, которую воспроизводят все смеси

Барьерный опцион

Высокая

Вероятность достижения барьера зависит от того, как улыбка смещается вместе со спотом

Кликет / аккумулятор

Очень высокая

Форвардные опционы — это чистая ставка на динамику улыбки

Американский / бермудский

Умеренная

Решение о досрочном исполнении зависит от будущей формы улыбки

Сильные стороны и ограничения

Сильная сторона

Что это значит для вас

Точная подгонка к сегодняшнему рынку

Функция левериджа гарантирует идеальную калибровку по всем наблюдаемым ценам опционов.

Реалистичная динамика

Стохастическая компонента волатильности обеспечивает движение улыбки, соответствующее историческому поведению.

Настраиваемость

Коэффициент смешивания даёт вам регулятор между качеством подгонки и реалистичностью динамики.

Отраслевой стандарт

Именно это используют Goldman, JPM и большинство десков первого эшелона для оценки экзотики.

Ограничение

Что это значит для вас

Вычислительно затратная

Калибровка функции левериджа требует Монте-Карло или PDE-солверов. Не работает в реальном времени.

Коэффициент смешивания — это выбор

Не существует «правильного» коэффициента смешивания — его выбирают исходя из качества хеджирования или атрибуции P&L по экзотике.

Функция левериджа может быть шумной

При разреженных рыночных данных (как в крипте) функция левериджа может быть нестабильной на краях, особенно вдали от ATM.

Смешивание сложно хеджировать

Коэффициент смешивания нельзя напрямую наблюдать или торговать. Это допущение модели.

💡

Необходима для экзотики, избыточна для ванильных опционов

Для оценки или хеджирования барьерных опционов, кликетов, автоколлов SLV — минимально приемлемая модель. Для ванильных опционов используйте SVI или SABR. Поведение временной структуры задаётся стохастической компонентой волатильности.

Исследователь уравнений

Преобразуйте подразумеваемую волатильность, полную дисперсию, лог-монейность и цены опционов друг в друга.

Исследователь формул

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Подразумеваемая вол. (σ)

%

Подразумеваемая волатильность

Время до экспирации

дн.

Календарные дни до экспирации

Полная дисперсия (w)

0.022225

Годовая дисперсия (σ²)

0.2704

IV (обратный пересчёт)

52.00%

Полная дисперсия — это то, что калибруют SVI и другие модели. Она растёт со временем: волатильность 50% на 30 дней даёт меньшую полную дисперсию, чем 50% на 90 дней.

---

Проверьте свое понимание перед тем, как продолжить.

Q: Почему локальная волатильность сама по себе не может дать реалистичную динамику улыбки?

Q: Что делает функция левериджа в SLV?

Q: Важен ли коэффициент смешивания для ванильных европейских опционов?

💡 Совет: Попробуйте ответить на каждый вопрос самостоятельно, прежде чем открывать ответ.

Развиваем математическую интуицию

Изучить SLV с нуляИнтерактивный урок · без предварительных знаний

В этом уроке объясняется, почему локальная и стохастическая волатильность по отдельности не справляются, а затем показывается, как функция левериджа смешивает их в продакшн-модель, которую реально используют многие дески по экзотике.

---

См. также:

• Модель SABR — стохастическая волатильность с бэкбоном
• Модель Хестона — самая распространённая чисто стохастическая модель волатильности
• Локальная волатильность — детерминированный подход Дюпира
• Как строятся поверхности — полный пайплайн