SSVI с нуля

1/4

Раздел 1

От SVI к SSVI

SVI подгоняет одну улыбку волатильности для одной экспирации. И делает это хорошо — пять параметров, чистая форма. Но поверхность волатильности состоит из множества экспираций. Независимая подгонка каждого среза создаёт проблему.

Когда вы подгоняете каждый срез собственными параметрами SVI, ничто не гарантирует, что суммарная дисперсия возрастает от одной экспирации к следующей на каждом страйке. Если это не так, у вас возникает арбитраж календарного спреда — сделка с гарантированной прибылью: вы продаёте опцион с ближней экспирацией и покупаете с дальней.

SSVI решает эту проблему, строя всю поверхность из единой параметризации. Вместо 5 параметров на срез вся поверхность задаётся:

Два ключевых элемента

θ(t) = полная дисперсия ATM в момент t

φ(θ) = функция ATM-скью (задаёт крутизну улыбки)

θ(t) наблюдается напрямую из цен ATM-опционов. φ(θ) описывает, как форма улыбки меняется со сроком до экспирации. Вместе с единственным параметром скью ρ они задают всю поверхность.

Аналогия

Представьте, что при подгонке SVI по срезам у каждого этажа здания свой архитектор. Каждый этаж может выглядеть отлично, но лестницы между этажами могут не совпасть. SSVI нанимает одного архитектора на всё здание — отдельные этажи чуть менее индивидуальны, зато всё стыкуется.

Раздел 2

Параметризация SSVI

Одна формула. Три параметра управления. Подвигайте ползунки ниже и посмотрите, как меняется улыбка.

Полная дисперсия SSVI

w(k, θ) = θ/2 · (1 + ρφ(θ)k + √((φ(θ)k + ρ)² + (1 − ρ²)))

k — это лог-монейность (ln(K/F)). При k=0 вы на деньгах (ATM). Отрицательный k — коллы в деньгах (путы вне денег, OTM).

Поиграйте с каждым параметром, чтобы понять, за что он отвечает:

θ0.04

ρ-0.30

φ1.50

θ сдвигает общий уровень: чем выше дисперсия ATM, тем выше вся улыбка. ρ наклоняет улыбку: отрицательная ρ создаёт скью в сторону путов, который ожидают трейдеры. φ определяет ширину крыльев.

Раздел 3

Арбитраж календарного спреда

Главный смысл SSVI — отсутствие календарного арбитража по построению. Но только если φ выбрана правильно.

Арбитраж календарного спреда означает, что полная дисперсия на некотором страйке уменьшается от ближней экспирации к дальней. На справедливом рынке такого быть не может — это давало бы бесплатные деньги.

Сравните ниже плохой выбор φ (константа, не учитывающая срок до экспирации) с хорошей степенной формой. Двигайте ползунок на левой панели и следите за индикатором нарушения.

Константная phi = 3.0Нарушений нет

phi3.0

Константная phi игнорирует срок до экспирации. Улыбка остаётся одинаково крутой на каждой экспирации, из-за чего на некоторых страйках суммарная дисперсия может убывать с переходом к более дальним срокам.

Степенная phi(theta)Нарушений нет

Степенная phi убывает с ростом theta, сглаживая улыбку на дальних сроках. Суммарная дисперсия монотонно растёт во времени на каждом страйке — календарного арбитража нет.

Константная φ сохраняет улыбку одинаково крутой на каждой экспирации. По мере того как θ растёт, крутая улыбка делает полную дисперсию на крыльях выше, чем нужно для коротких сроков, но недостаточно высокой для длинных — возникают пересечения.

Степенная φ убывает по мере роста θ , естественно уплощая улыбку на дальних сроках. Это гарантирует, что w(k, θ) монотонно возрастает по θ при любом k.

Раздел 4

Степенная форма

Всей поверхностью управляют два параметра. Такова награда за все ограничения, которые накладывает SSVI.

Степенная φ

φ(θ) = η / (θ^γ (1 + θ)^1−γ)

η > 0 задаёт общую амплитуду улыбки. γ ∈ [0, 1] определяет, как быстро улыбка уплощается со сроком. Отсутствие календарного арбитража требует η(1 + |ρ|) < 2.

Подвигайте ползунки ниже. Следите за тепловой картой: ось x — лог-монейность, ось y — экспирация, цвет — подразумеваемая волатильность.

η0.50

γ0.50

ρ-0.30

Поверхность подразумеваемой волатильности SSVI

Экспирация (годы)

1.00.530.05

-0.800.8

Лог-монейность (k)

IV

19%51%

η масштабирует амплитуду улыбки по всей поверхности. Увеличьте его — и крылья расширятся на всех экспирациях. γ меняет скорость уплощения улыбки со сроком. Низкая γ означает, что дальние улыбки остаются крутыми; высокая γ быстро их уплощает.

Три параметра (ρ, η, γ) плюс наблюдаемая кривая дисперсии ATM θ(t). Это вся поверхность. Сравните с 25+ параметрами для пяти срезов SVI при подгонке по срезам.

Что изучить дальше:

Справочник по SSVI — полная формула, советы по подгонке и сравнительная таблица

Параметризация SVI — модель по срезам, которую расширяет SSVI

Как строятся поверхности — продакшен-пайплайн