Простые и базовые модели
Строительные блоки. Блэк-Шоулз: постоянная волатильность, без улыбки. CEV добавляет один параметр и получает скью. Смещённая диффузия сдвигает ось цены, чтобы работать с отрицательными ставками. Для боевой калибровки улыбки эти модели слишком просты, но каждая сложная модель расширяет одну из них.
Каждая сложная модель расширяет простую
SABR опирается на CEV (это его основа). Хестон включает Блэка-Шоулза как частный случай. Начните отсюда.
Кратко
Что у них общего
Все четыре модели описывают единственный диффузионный процесс для цены базового актива. Ни в одной из них нет стохастической волатильности, скачков или второго источника случайности. Различаются они лишь предположениями о динамике цены.
Как они связаны между собой
Блэк-Шоулз — это база: постоянная волатильность, логнормальная цена, без улыбки. CEV обобщает его, делая волатильность зависимой от уровня цены (сигма, умноженная на S в степени бета минус один), что даёт скью. Именно эта конструкция лежит в основе SABR — его компонента локальной волатильности задаётся через CEV. Смещённая диффузия идёт другим путём: она сдвигает ось цены (моделируется S + d вместо S), что тоже даёт скью и позволяет работать с отрицательными ставками или ценами. При малых сдвигах она ведёт себя схоже с CEV. Башелье — аддитивная версия Блэка-Шоулза: цены следуют нормальному распределению вместо логнормального. Модель даёт плоскую улыбку (в терминах нормальной волатильности) и естественным образом допускает отрицательные цены — именно поэтому она стала стандартом для процентных опционов, когда ставки ушли в минус.
Модели в этом разделе:
- Блэк-Шоулз — фундамент
- Модель CEV — волатильность зависит от цены
- Смещённая диффузия — сдвинутое логнормальное распределение
- Башелье — нормальная динамика, аддитивная волатильность