SABR с нуля

1/5

Раздел 1

SABR даёт волатильности собственный процесс

В модели Блэка-Шоулза волатильность постоянна. В реальном мире волатильность меняется — причём меняется вместе со спотом. SABR отражает оба этих факта.

Модель SABR — это система из двух связанных СДУ. Форвардная цена F и стохастическая волатильность σ эволюционируют совместно:

Система СДУ SABR

dF = σ·Fᵝ·dW₁
dσ = α·σ·dW₂
corr(dW₁, dW₂) = ρ

F — форвардная цена. σ — стохастическая волатильность (со своим собственным броуновским движением). α — волатильность волатильности (насколько быстро меняется σ). β — показатель бэкбона (как волатильность масштабируется с ценой). ρ — корреляция между движениями спота и волатильности.

Четыре параметра, каждый с чётким рыночным смыслом. α — волатильность волатильности: определяет, насколько сильно колеблется сама волатильность. β — бэкбон: он определяет, ведёт ли себя процесс скорее как геометрическое броуновское движение (β=1) или как арифметическое броуновское движение (β=0). ρ — корреляция между движениями спота и волатильности: растёт ли волатильность при падении спота? (На рынках акций и крипты — да: ρ < 0.)

Ключевая идея: волатильность не просто неизвестна — она случайна и коррелирована с базовым активом. Одна эта идея порождает реалистичные улыбки без целой поверхности параметров.

Почему трейдеры используют SABR

SABR появилась в мире процентных ставок (Hagan, Kumar, Lesniewski, Woodward, 2002). Каждый деск свопционов использует её для интерполяции между котируемыми страйками. Причина проста: четыре параметра на экспирацию, каждый соответствует чему-то наблюдаемому, плюс аналитическая формула для подразумеваемой волатильности. Для построения улыбки не нужен Монте-Карло.

Раздел 2

β управляет бэкбоном

Показатель степени β определяет, как мгновенная волатильность масштабируется с уровнем форварда. Он задаёт характер базового процесса ещё до того, как в игру вступают волатильность волатильности и корреляция.

β = 1 (логнормальный): Процентные движения имеют постоянный размер. Если BTC стоит 60k, движение на 1% — это $600. Если BTC стоит 30k, движение на 1% — это $300. Долларовая волатильность масштабируется с ценой. Это классическое допущение GBM.

β = 0 (нормальный): Долларовые движения имеют постоянный размер. Будь ставка 2% или 5%, дневное стандартное отклонение в базисных пунктах одинаково. Это типично для рынков процентных ставок.

β = 0.5 (по типу CIR): Компромисс. Волатильность масштабируется как квадратный корень из цены. Популярен для крипты и FX, где ни одна из крайностей не подходит идеально.

Подвигайте β ниже и понаблюдайте за тремя эталонными улыбками. При β=1 улыбка относительно симметрична в лог-монейности. При β=0 профиль скью меняется кардинально. Бэкбон определяет, как улыбка сдвигается при движении спота — именно так β связана с режимами sticky-strike и sticky-delta.

β бэкбон0.50 (CIR / квадратный корень)

Передвиньте ползунок, чтобы увидеть, как меняется характер бэкбона

CIR / квадратный корень: Процесс CIR / квадратного корня. dF = σ·√F·dW — волатильность масштабируется как квадратный корень цены.

Активная (\u03B2=0.50)Нормальный (β=0)CIR (β=0.5)Логнормальный (β=1)

На практике β часто фиксируют, а не подбирают. Дески ставок обычно берут β=0.5 или β=0. Дески акций и крипты часто используют β=1. Причина: β трудно отделить от ρ при калибровке на одну экспирацию. Стандартная практика — зафиксировать β и позволить трём остальным параметрам вобрать в себя улыбку.

Раздел 3

Аппроксимация Hagan

Причина, по которой SABR захватила торговлю ставками: Hagan с соавторами вывели аналитическое приближение подразумеваемой волатильности Блэка-Шоулза как функции страйка. Ни решения PDE, ни симуляций — просто формула.

Формула Hagan (упрощённая структура)

σ_BS(K) ≈ [α / (FK)⁽¹⁻β⁾²]· [z/x(z)]· [1 + corrections · T]

Три сомножителя: Базовый уровень — задаётся α и β; это ATM-волатильность. Отношение z/x(z) — несёт скью от ρ и зависимость от страйка. Временные поправки — малые поправки, пропорциональные T, от ρ, α, и β.

Столбчатая диаграмма ниже раскладывает подразумеваемую волатильность на каждом страйке на три аддитивных вклада. Зелёная база — уровень ATM-волатильности (то, что вы получили бы при ρ=0 и ν=0 — чистый CEV). Оранжевый слой — поправка на скью первого порядка от ρ. Синий слой — поправка на выпуклость от ν (волатильность волатильности).

На деньгах (ATM) поправки на скью и выпуклость примерно равны нулю — доминирует база. В крыльях поправки растут. Подвигайте ползунки и посмотрите, как каждый параметр управляет своим слоем.

α уровень волатильности0.25

Задаёт базовую высоту каждого столбца

ρ скью-0.30

Наклоняет оранжевый слой скью влево или вправо

ν волатильность волатильности0.40

Увеличивает синий слой выпуклости на крыльях

База (ATM)Скью (ρ)Выпуклость (ν)

Обратите внимание, как оранжевые столбики скью меняют знак: с одной стороны они положительны, с другой — отрицательны (когда ρ ≠ 0). Синие столбики выпуклости в крыльях всегда положительны, добавляя премию и глубоким путам, и глубоким коллам.

Раздел 4

ρ и ν формируют улыбку

После того как β и α задали бэкбон и общий уровень волатильности, форму улыбки контролируют два параметра: ρ (корреляция) наклоняет улыбку, а ν (волатильность волатильности) изгибает её.

ρ — регулятор скью. Когда ρ < 0, падения спота сопровождаются ростом волатильности — путы становятся дороже коллов. Когда ρ > 0, наоборот: коллы дороже. При ρ = 0 улыбка симметрична (при β=1 или в координатах лог-монейности).

ν — регулятор кривизны. Чем выше волатильность волатильности, тем более изменчива сама волатильность, и оба крыла дорожают. Улыбка становится шире, а эксцесс терминального распределения растёт. При ν = 0 улыбки нет вовсе — вы возвращаетесь к чистой модели CEV.

Две панели ниже изолируют каждый эффект. Слева: фиксируем ν, двигаем ρ. Справа: фиксируем ρ, двигаем ν. Пунктирная линия — эталон (ρ=0 или ν=0).

ρ задаёт направление скью

ρ корреляция-0.30

Отрицательное значение наклоняет влево, положительное — вправо

ν задаёт кривизну улыбки

ν vol of vol0.40

Выше = шире улыбка, круче крылья

ρ = -0.30: Небольшой скью: улыбка слегка наклоняется.
ν = 0.40: Умеренный vol-of-vol: заметная кривизна на крыльях.

Такое разделение полезно для интуиции, но неидеально на практике. ρ и ν не полностью ортогональны — изменение одного параметра сдвигает оптимальное значение другого при калибровке. Но ментальная модель верна: ρ поворачивает улыбку, ν раздувает её.

Раздел 5

Калибровка и подводные камни

Калибровка SABR — это поиск (α, ρ, ν), при которых улыбка модели совпадает с наблюдаемыми рыночными IV — при этом β обычно фиксирована. Ниже попробуйте вручную подогнать модель к синтетическим рыночным данным.

Оранжевые кружки — «рыночные» подразумеваемые волатильности. Зелёная кривая — ваша модель SABR. Вертикальные линии показывают остатки — разрыв между моделью и рынком на каждом страйке. Двигайте ползунки, чтобы минимизировать SSE (сумму квадратов ошибок). Хорошая калибровка приближает остатки к нулю везде, а не только в точке ATM.

α уровень волатильности0.30

Сдвигает всю кривую модели вверх/вниз

ρ скью0.00

Наклоняет кривую модели под рыночный скью

ν волатильность волатильности0.30

Управляет кривизной для подгонки цен на крыльях

SSE10.0

Хорошая подгонка

Подгонка моделиРыночные данныеОстатки

Несколько вещей, которые практики усваивают быстро:

Аппроксимация Hagan взрывается в крыльях. Для глубоких OTM-опционов (скажем, 10-дельта путов на 2Y свопцион) формула Hagan может давать отрицательные или абсурдно высокие подразумеваемые волатильности. Это печально известная проблема «взрыва крыльев». Решения — безарбитражная формулировка SABR (Hagan-Lesniewski-Woodward 2014) или точные подходы на основе PDE.

Отрицательные ставки сломали стандартную модель. При β > 0 форвард F должен быть положительным. Когда процентные ставки ушли в минус (EUR, JPY, CHF), дески перешли на shifted SABR: модель применяется к (F + сдвиг), где сдвиг делает эффективный форвард положительным.

Для крипты β обычно фиксируют на уровне 0.5 или 1.0. Криптовалютные поверхности волатильности отличаются экстремальным скью и толстыми хвостами. β=1 (логнормальный случай) — самый распространённый выбор, поскольку цены криптоактивов не могут быть отрицательными. Некоторые дески используют β=0.5 для лучшей подгонки в крыльях.

SABR — модель на одну экспирацию, а не модель поверхности. Каждая экспирация получает собственную калибровку (α, ρ, ν). Модель ничего не говорит о том, как эти параметры эволюционируют между экспирациями. Для согласованности временной структуры нужны дополнительные ограничения или другой фреймворк (например, SSVI или локально-стохастическая волатильность).

Куда дальше:

Параметризация SVI — модель уровня поверхности с гарантиями отсутствия арбитража календарных спредов

Локальная волатильность — дополняющий подход: детерминированная волатильность, точно воспроизводящая все ванильные опционы

Методы интерполяции — сравнение всех методов для улыбки и поверхности