Модель SABR

к сведению

Эта страница подробно разбирает модель SABR. О том, какое место она занимает в конвейере построения поверхности волатильности, читайте в разделе Как строятся поверхности. Сравнение с другими методами — в разделе Методы интерполяции.

SABR (Stochastic Alpha Beta Rho) — модель стохастической волатильности, предложенная Хаганом, Кумаром, Лесневским и Вудвордом (2002). В отличие от SVI, которая описывает форму улыбки, SABR описывает динамику, которая её порождает. Улыбка возникает в модели как следствие того, как волатильность эволюционирует вместе с базовым активом.

SABR — доминирующая модель для свопционов на процентные ставки и кэпов/флоров. В крипте она встречается реже: там предпочитают SVI за более простую подгонку и лучшее поведение на крыльях.

Исследуйте параметры

Меняйте каждый параметр и наблюдайте, как изменяется улыбка SABR. Включите «Show backbone», чтобы увидеть кривую чистой CEV-модели (как выглядит улыбка без волатильности волатильности).

Исследователь улыбки SABR

Типичная улыбка свопционов на процентные ставки. Умеренный скью, слабая кривизна.

α (уровень вол.)0.30

Текущая мгновенная волатильность

β (бэкбон)0.50

0 = нормальная, 0.5 = корень, 1 = лог-нормальная

ρ (корреляция спот-вол)-0.30

Отрицательная = пут-скью (обычно)

ν (вол-оф-вол)0.40

Задаёт ширину улыбки. 0 = без улыбки.

Включите «Показать бэкбон», чтобы увидеть кривую только CEV (без вол-оф-вол). Разрыв между бэкбоном и полной улыбкой — это вклад ν.

Что делает каждый параметр

• $\alpha$ (уровень волатильности): текущая мгновенная волатильность. Чем выше $\alpha$, тем выше общий уровень IV. Это самый часто рекалибруемый параметр.
• $\beta$ (backbone): определяет, как волатильность масштабируется с ценой базового актива. $\beta = 1$ означает постоянную процентную волатильность (логнормальная модель). $\beta = 0$ означает постоянную долларовую волатильность (нормальная модель). $\beta = 0.5$ — промежуточный вариант (квадратный корень). На практике $\beta$ обычно фиксируют по рыночной конвенции, а не подгоняют.
• $\rho$ (корреляция спота и волатильности): управляет скью. Отрицательное $\rho$ означает, что волатильность растёт при падении базового актива (типичное поведение на рынках акционных инструментов и в крипте). Положительное $\rho$ означает обратное (редкость).
• $\nu$ (волатильность волатильности): управляет шириной улыбки. При $\nu = 0$ улыбки нет — остаётся лишь тот скью, который создают $\beta$ и $\rho$ (тот самый «backbone»). С ростом $\nu$ поднимаются оба крыла.

Backbone

Нажмите «Show backbone» в обозревателе выше. Пунктирная линия — это улыбка при $\nu = 0$: никакой случайности в волатильности, только детерминированная CEV-модель. Разрыв между backbone и полной улыбкой — вклад $\nu$ (волатильности волатильности). Такая декомпозиция уникальна для SABR и даёт трейдерам ясную интуицию о том, откуда берётся кривизна улыбки.

Калибровка

Стандартный подход

1. Зафиксируйте $\beta$ согласно рыночной конвенции:

   • Процентные ставки: $\beta = 0.5$ (распространено) или $\beta = 0$ (нормальный SABR)
   • Акционные инструменты: $\beta = 1$ (логнормальная модель)
   • С фиксированным $\beta$ у модели остаётся 3 свободных параметра.

2. Привяжите $\alpha$ к ATM-волатильности. Между $\alpha$ и подразумеваемой волатильностью ATM существует почти замкнутая формула. По наблюдаемой ATM IV решите уравнение относительно $\alpha$. Это сводит подгонку к 2 свободным параметрам.

3. Подгоните $\rho$ и $\nu$, минимизируя взвешенную ошибку между улыбкой SABR и наблюдаемыми IV по страйкам. С двумя параметрами это быстро и надёжно.

Взвешивание

• ATM получает наибольший вес (самая ликвидная и надёжная точка)
• Опционы с узкими спредами бид/аск получают больший вес
• Глубоко OTM опционы получают меньший вес (аппроксимация Хагана там менее точна)

Сильные стороны

Динамическая интерпретация. SABR подсказывает, как должна двигаться улыбка при движении базового актива. По умолчанию SABR даёт поведение, близкое к sticky-delta: при падении спота волатильность растёт (если $\rho < 0$), и улыбка сдвигается вместе со спотом. Это ценно для продуктов, где динамика улыбки важна для хеджирования.

Декомпозиция на backbone и улыбку. Разделение backbone (скью, порождаемый $\beta$) и улыбки (кривизна, порождаемая $\nu$) даёт трейдерам ясную ментальную модель.

Экономность. С фиксированным $\beta$ и $\alpha$, привязанной к ATM, подгоняются всего 2 параметра. Это быстро и почти не оставляет места для переобучения.

Ограничения

Проблемы на крыльях. Аппроксимация Хагана может давать отрицательную подразумеваемую волатильность или отрицательную плотность вероятности на дальних крыльях. Это известная проблема. В продакшене используют скорректированные формулировки (безарбитражный SABR или PDE-решатель для экстремальных страйков).

Длинные сроки. Асимптотическое разложение деградирует на сроках свыше 10–15 лет. В таких случаях используйте численный метод.

Статическая подгонка вместо динамической калибровки. Несмотря на динамическую интерпретацию SABR, на практике каждая экспирация подгоняется независимо (так же, как в SVI). Динамическая история остаётся скорее декларацией, чем операционно обеспеченным свойством.

SABR против SVI

	SABR	SVI
Что моделирует	Динамику, порождающую улыбку	Форму улыбки
Параметры	3 (при фиксированном $\beta$)	5
Арбитраж	Формула Хагана может нарушаться на крыльях	Доступны чистые ограничения
Поведение на крыльях	Может ломаться на экстремальных страйках	Ограниченные линейные асимптоты
Скорость	Вычисление формулы	Оптимизация
Лучше подходит для	Процентных ставок, FX	Акционных инструментов, крипты

Ключевое различие: SABR отвечает на вопрос «как улыбка движется?», а SVI — «как улыбка выглядит?». Для простого прайсинга европейских опционов и оценки рисков обычно выигрывают более простая подгонка и лучшее поведение крыльев у SVI. Для продуктов, где важна динамика улыбки (бермудские свопционы, барьерные опционы в режиме sticky-delta), динамическая интерпретация SABR представляет ценность.

Связь с SVI

SABR может инициализировать подгонку SVI. Сначала подгоните SABR (быстрая оптимизация по 2 параметрам), вычислите улыбку SABR на множестве страйков, затем подгоните SVI к этим точкам. Это даёт SVI хорошую стартовую точку при разреженных рыночных данных.

Формирование математической интуиции

Изучите SABR с нуляИнтерактивный урок · 4 параметра, 5 разделов

Интерактивный урок выше поочерёдно разбирает четыре параметра SABR: как альфа задаёт уровень волатильности, как ро наклоняет скью, как ню поднимает крылья и как бета управляет динамикой backbone. У каждого раздела свой слайдер, позволяющий изолировать эффект отдельного параметра.

Реализации с открытым исходным кодом

Репозиторий	Зачем изучать
QuantLib	Аппроксимация Хагана для SABR + калибровка
pysabr	Чистая Python-реализация SABR, легко читается
OpenGamma Strata	SABR с интерполяцией улыбки в продакшен-риске

---

См. также:

• Параметризация SVI — модель, которую использует Hypercall
• Локальная волатильность — поверхность мгновенной волатильности Дюпира
• Методы интерполяции — сравнение всех методов
• Как строятся поверхности — полный конвейер