Rough Bergomi с нуля

1/5

Раздел 1

У волатильности шероховатые траектории

Когда исследователи измерили поведение реализованной волатильности на высокой частоте, они обнаружили нечто, что ломает все классические модели: автокорреляция приращений волатильности убывает по степенному закону, а не экспоненциально. Траектории волатильности гораздо более изломаны, чем все предполагали.

В Heston, SABR и любой модели на основе диффузии процесс дисперсии управляется стандартным броуновским движением. У BM показатель Хёрста H = 0.5, то есть его приращения некоррелированы. Получаемые траектории непрерывны, но достаточно гладки, чтобы «в большинстве случаев» быть дифференцируемыми в интуитивном смысле.

Gatheral, Jaisson и Rosenbaum (2018) измерили реализованную волатильность фондовых индексов и отдельных акций. Они изучили, как автокорреляция приращений лог-волатильности затухает с ростом лага. Результат: она затухает по степенному закону, γ(k) ∼ k^2H−1, with H ≈ 0.1. Не H = 0.5. Не H = 0.3. H близко к нулю.

Ментальная модель

Представьте линию, проведённую по линейке, против каракулей ручкой, когда кто-то толкает вас под локоть. Классические модели используют линейку. Шероховатая волатильность утверждает, что каракули ближе к реальности. Ручка постоянно меняет направление на каждом масштабе времени, а не только на частоте некоего OU-процесса с возвратом к среднему.

Что означает H ≈ 0.1 на практике? Приращения волатильности сильно антикоррелированы. Если волатильность подросла за последние пять минут, то с большей вероятностью снизится в следующие пять. Такой постоянный разворот на каждом временном масштабе и делает траекторию шероховатой — изломанной и фрактальной, скорее как береговая линия, чем как автомагистраль.

Это не выбор модели. Это эмпирический факт, наблюдаемый на рынках акций, индексов, FX и крипты. Универсальность H ≈ 0.1 — одно из самых поразительных открытий современной финансовой эконометрики.

Автокорреляция приращений

H0.10

2H−1 = -0.80 — Сильная антикорреляция: грубые траектории

At H < 0.5 приращения имеют отрицательную автокорреляцию. За движением вверх, скорее всего, последует движение вниз, из-за чего траектория становится изломанной. Это эмпирический признак грубой волатильности.

Потяните ползунок выше. При H = 0.5 автокорреляция равна нулю на всех лагах — стандартное BM, без памяти. По мере снижения H к 0.1 автокорреляция становится сильно отрицательной. Приращения антикоррелированы. Это и есть шероховатость.

Раздел 2

Что определяет H

H — это показатель Хёрста. Единый показатель, который определяет, насколько шероховатым или гладким выглядит случайный процесс. Всё в теории шероховатой волатильности вытекает из того, что H гораздо меньше 0.5.

H = 0.5: Стандартное броуновское движение. Именно его использует Heston. Приращения некоррелированы. Траектории непрерывны, но недифференцируемы. «Дефолтная» шероховатость, которую предполагает классические финансы.

H < 0.5: Шероховато. Приращения антикоррелированы. Чем ниже H, тем более шероховата траектория. При H = 0.1 траектории выглядят так, будто их нарисовал сейсмограф во время землетрясения. За каждым колебанием вверх, скорее всего, следует колебание вниз — на каждом временном масштабе.

H → 0: Крайне шероховато. В пределе траектория становится настолько изломанной, что едва остаётся непрерывной. На практике H ≈ 0.1 достаточно шероховато, чтобы соответствовать реальным рынкам.

H > 0.5: Гладко (персистентно). Приращения положительно коррелированы. Траектории трендовые. Этот режим не актуален для волатильности, но встречается в некоторых моделях гидрологии и сетевого трафика.

Дробное броуновское движение

W^H(t) = fBM with Hurst parameter H

Cov(W^H(t), W^H(s)) = ½(|t|^2H + |s|^2H − |t−s|^2H)

При H = 0.5 это сводится к min(t, s) — ковариации стандартного BM. При H ≠ 0.5 структура ковариации меняется: приращения приобретают память.

Грубые и гладкие траектории дисперсии

H0.10

H = 0.10 — Очень грубая: изломанные, реалистичные траектории волатильности

На верхней панели показаны три траектории дисперсии рядом при H = 0.1, 0.3 и 0.5. Визуальное различие впечатляет. При H = 0.5 траектория плавно блуждает. При H = 0.1 она выглядит как помехи на экране телевизора — постоянные развороты, изломанные пики.

Используйте ползунок на нижней панели, чтобы плавно менять H. Обратите внимание, как траектория превращается из гладкой в шероховатую по мере снижения H. Это не параметр какой-то конкретной модели — это измеримое свойство реальных данных о волатильности.

Раздел 3

Модель rough Bergomi

Bayer, Friz и Gatheral (2016) взяли эмпирический вывод о шероховатой волатильности и построили вокруг него модель ценообразования. Процесс дисперсии управляется дробным броуновским движением вместо стандартного BM. Результат элегантен, экономичен по параметрам и немарковский.

Дисперсия rough Bergomi

v(t) = ξ₀(t) · exp(η · W^H(t) − ½η² · t^2H)

ξ₀(t): форвардная кривая дисперсии. Считывается напрямую из рыночных цен вариационных свопов. Это привязывает модель к наблюдаемой временной структуре.
η (eta): vol-of-vol. Определяет, насколько дисперсия отклоняется от форвардной кривой. Выше η = шире улыбка.
W^H(t): дробное броуновское движение с показателем Хёрста H. Это шероховатый драйвер.
−½η²t^2H: поправка на выпуклость, обеспечивающая E[v(t)] = ξ₀(t). Модель автоматически калибруется на временную структуру дисперсии.

Спот-цена следует обычной логнормальной диффузии с мгновенной дисперсией v(t):

Динамика спота

dS(t) = √v(t) · S(t) · dW(t)

corr(dW(t), dW^H(t)) = ρ

Броуновское движение спота W коррелировано с дробным драйвером W^H. Отрицательная ρ создаёт скью — тот же механизм, что и у Heston.

Посчитаем свободные параметры: H (показатель Хёрста), η (vol-of-vol) и ρ (корреляция спот-вол). Итого три параметра плюс форвардная кривая дисперсии ξ₀(t), которая считывается с рынка. Сравните с пятью свободными параметрами Heston. Модель более экономна.

Ключевое отличие от Heston: эта модель не марковская. У Heston будущее дисперсии зависит только от её текущего уровня. В rough Bergomi будущее зависит от всей истории траектории. У дробного BM встроена долгосрочная зависимость. Состояние нельзя свести к единому показателю.

Марковская vs немарковская модель: история имеет значение

История A: дисперсия росла

История B: дисперсия снижалась

Обе траектории приходят к одному и тому же уровню дисперсии в точке «NOW». В модели Heston будущие конусы перекрываются (история забывается). В rough Bergomi траектория с растущей историей имеет иное распределение будущего, чем траектория со снижающейся историей.

Переключайтесь между марковским и шероховатым режимом выше. Две траектории дисперсии приходят к одному уровню в момент «СЕЙЧАС», но добрались туда разными путями. В Heston (марковская) их будущие распределения идентичны — у модели нет памяти. В rough Bergomi у растущей траектории иной конус будущего, чем у падавшей. История заложена в саму динамику.

Почему немарковость важна для торговли

Если вы трейдер волатильности и видите 30-дневную реализованную волатильность на уровне 45%, вам важно знать: она пришла туда скачком с 20% (вероятен быстрый возврат к среднему) или медленно взбиралась с 40% (вероятно, сохранится)? Heston не способна различить эти два сценария. Rough Bergomi способна. История траектории содержит информацию о будущем.

Раздел 4

Почему шероховатая волатильность объясняет улыбки коротких сроков

Убойное применение теории шероховатой волатильности: она предсказывает, что скью ATM масштабируется как T^H−0.5. При H = 0.1 это означает, что скью взрывается на коротких сроках — ровно то, что показывают крипто- и фондовые рынки.

ATM-скью — это наклон подразумеваемой волатильности как функции логарифмической монейности, вычисленный на деньгах (ATM). Каждая модель стохастической волатильности предсказывает определённую связь между этим скью и сроком T:

Временная структура скью

|skew(T)| ∝ T^{H − 0.5}

H = 0.5 (Heston): skew ∝ T⁰ = константа. Скью не зависит от срока. Слишком плоско на коротком конце.
H = 0.1 (rough): skew ∝ T^−0.4. Скью взрывается при T → 0. Соответствует реальным данным.

Это кульминация всей программы шероховатой волатильности. Классические модели предсказывают временную структуру скью, которая слишком плоская на ближнем конце. Они способны воспроизвести 3-месячный скью, но с трудом справляются с 1-недельным или 1-дневным. Трейдеры годами знали, что улыбки коротких сроков круче, чем предсказывает Heston. Шероховатая волатильность объясняет почему: шероховатость процесса дисперсии базового актива напрямую определяет, как быстро растёт скью по мере сокращения срока.

Временная структура ATM-скью

H = 0.1: skew ∝ T^-0.4

H = 0.3: skew ∝ T^-0.2

H = 0.5: skew ∝ T^0.0

Эмпирические данные BTC

Power-law skew: |skew| ∝ T^H−0.5. At H=0.1, the exponent is −0.4, so short-dated skew blows up.

На графике выше показаны три режима в логарифмическом масштабе. При H = 0.1 (зелёный) кривая скью крутая — скью коротких сроков намного больше, чем длинных. При H = 0.5 (красный, как у Heston) кривая почти плоская. Жёлтые точки — эмпирические данные BTC, и они близко следуют кривой H = 0.1.

Это не совпадение. Когда вы измеряете H по данным реализованной волатильности BTC, вы получаете H ≈ 0.1. Когда вы смотрите на временную структуру скью, подразумеваемую опционами BTC, она масштабируется как T^−0.4. Теория и данные сходятся.

Почему Heston ошибается здесь: Дисперсионный процесс CIR у Heston управляется стандартным BM (H = 0.5). Он не может воспроизвести степенное затухание скью с показателем ниже нуля. Вы можете сделать скью Heston крутым, накрутив σ (vol-of-vol), но это нарушает условие Феллера и создаёт численные проблемы. Rough Bergomi достигает крутого скью на коротких сроках естественным образом, без каких-либо ухищрений с параметрами.

Раздел 5

Трудности ценообразования

Rough Bergomi теоретически красива и эмпирически обоснована. Но её дорого использовать. Ни замкнутых формул для цен, ни PDE, ни быстрого фурье-приёма. Только Монте-Карло, и даже это медленно из-за немарковской структуры.

Нет характеристической функции в замкнутой форме. Убойная особенность Heston — полуаналитическое ценообразование через обращение Фурье. У Rough Bergomi этого нет. Драйвер в виде дробного BM разрушает аффинную структуру, которая делает характеристическую функцию Heston разрешимой.

Только Монте-Карло. Чтобы оценить ванильный опцион в рамках Rough Bergomi, вы симулируете траектории процесса дисперсии, вычисляете терминальные цены базового актива и усредняете выплаты. Стандартная сходимость Монте-Карло: 1/√N. Чтобы получить цену с точностью до 1 базисного пункта, нужно очень много траекторий.

Симуляция fBM обходится дорого. Стандартное BM марковское: чтобы симулировать следующий шаг, нужно только текущее значение. fBM немарковское: чтобы корректно симулировать следующий шаг, нужна вся история траектории. Наивное разложение Холецкого стоит O(N²) по памяти на траекторию и O(N³) по времени, где N — число временных шагов. Для длинных траекторий это убийственно.

Гибридные схемы. Bayer, Friz и Gatheral предложили гибридную схему, которая разбивает ядро fBM на «ближнюю» часть (вычисляется точно) и «дальнюю» часть (аппроксимируется несколькими базисными функциями). Это снижает стоимость примерно до O(N · log N) на траекторию, что делает калибровку осуществимой, но всё ещё недостаточно быстрой для ценообразования в реальном времени на торговом деске.

Нет PDE. Марковские модели вроде Heston можно оценивать через PDE (конечные разности). Это даёт быстрое ценообразование на сетке. У немарковских моделей нет конечномерного пространства состояний, поэтому написать PDE невозможно. «Проклятие немарковости» в том, что состояние бесконечномерно (вся история траектории).

Сравнение вычислительных затрат

Heston: обращение Фурье — O(1) на опцион (микросекунды)

Rough Bergomi: Монте-Карло — O(N·M) на опцион (секунды)

N = число временных шагов на траекторию, M = число траекторий. Типичная калибровка требует вычисления сотен цен опционов на каждый шаг оптимизатора. Из-за этого Rough Bergomi в 10 000 раз медленнее Heston для той же задачи.

Где Rough Bergomi применяется на практике:

1. Исследования и калибровочные изыскания. Академики и квант-исследователи используют её для проверки гипотезы rough vol и для сравнения с другими моделями. Если ваша быстрая модель (SVI, SABR) даёт скью, отличный от предсказаний Rough Bergomi, значит, что-то не так.

2. Ночная калибровка. Некоторые деске запускают калибровку Rough Bergomi ночью в качестве диагностики. Она показывает, упускает ли их быстрая дневная модель динамику скью.

3. Формирование интуиции. Даже если вы никогда не запускаете модель вживую, понимание rough vol меняет то, как вы думаете о коротких опционах. Когда однодневный скью выглядит круче, чем предсказывает ваша модель, rough vol говорит вам, что это нормально — это проступают rough-траектории рыночной дисперсии.

4. Нейросетевые прокси. Недавние работы обучают нейросети аппроксимировать цены Rough Bergomi. Сеть заранее (используя медленное Монте-Карло) обучается отображению из параметров в цены, а затем в рантайме вычисляет их за миллисекунды. Возможно, со временем это сделает rough vol пригодной для продакшена.

Более широкая картина

Rough Bergomi находится на пересечении математических финансов и эконометрики. Это один из редких случаев, когда измерение (H ≈ 0.1) напрямую продиктовало модель. Большинство моделей сначала изобретают, а потом подгоняют под данные. Rough vol сначала обнаружили в данных, а формализовали уже потом. Именно эта эмпирическая основа объясняет, почему сообщество относится к ней серьёзно, несмотря на вычислительные затраты.

Куда двигаться дальше:

Модель Heston — рабочая лошадка марковской стохастической волатильности с ценообразованием по Фурье

Параметризация SVI — быстрый стандарт подгонки улыбки для крипто-поверхностей волатильности

Модель SABR — стохастическая волатильность без возврата к среднему

Методы интерполяции — сравнение всех методов построения поверхности