Пут-колл паритет с нуля

1/5

Раздел 1

Тождество

Пут-колл паритет — это не модель. Это не приближение. Это тождество — математический факт, поддерживаемый арбитражем.

Пут-колл паритет

C − P = S − K·e⁻ʳᵀ

C = цена колла. P = цена пута. Тот же страйк, та же экспирация.
S = спот-цена. K·e⁻ʳᵀ = приведённая стоимость страйка.

Левая часть — это разница между коллом и путом с одинаковым страйком и экспирацией. Правая часть — это спот минус дисконтированный страйк. Они всегда равны. Если они расходятся, кто-то раздаёт бесплатные деньги.

Подвигайте ползунки ниже. Следите за обеими частями. Они всегда совпадают — потому что цены колла и пута рассчитываются из одной и той же базовой реальности.

C − P

$1.24

$5.73 − $4.49

=

S − PV(K)

$1.24

$100.00 − $98.76

Паритет соблюдается. Обе стороны равны $1.24.

Спот (S)$100

Страйк (K)$100

Время (T)0.25y

Ставка (r)5.0%

Вол (σ)20%

Как бы вы ни меняли спот, страйк, волатильность или ставки, обе части остаются связанными. Это не совпадение. Это следствие того, что коллы и путы не являются независимыми инструментами — это два взгляда на один и тот же форвард.

Раздел 2

Почему оно должно выполняться

Соберите два портфеля. Покажите, что у них одинаковые выплаты на экспирации. Если два актива платят одинаково в любом сценарии, сегодня они стоят одинаково.

Портфель A

Длинный колл + K·e⁻ʳᵀ в кэше

Купите колл. Отложите столько кэша, чтобы к экспирации он вырос ровно до K.

Портфель B

Длинный пут + Длинный базовый актив

Купите пут. Купите базовый актив.

На экспирации оба портфеля платят max(S, K):

Если S > K: Портфель A исполняет колл, получает базовый актив стоимостью S. Кэш (теперь K) не нужен. Итого: S. Портфель B даёт путу истечь, держит базовый актив стоимостью S. Итого: S.

Если S < K: Портфель A даёт коллу истечь, оставляет кэш (теперь K). Итого: K. Портфель B исполняет пут, продаёт базовый актив по K. Итого: K.

Одинаковая выплата в любом состоянии мира. Одинаковая стоимость сегодня. Это и есть пут-колл паритет.

Портфель A: колл + K в деньгах

Портфель B: пут + базовый актив

Оба дают выплату max(S, K) на экспирации. Всегда. Линии идеально совпадают.

Страйк (K)$100

Показать отдельные выплаты

Две линии идеально совпадают. Подвигайте страйк — они всё равно совпадают. Переключите «Показать отдельные выплаты», чтобы увидеть компоненты. Колл и кэш вместе точно повторяют пут и базовый актив.

Раздел 3

Использование для конвертации

Знайте любые четыре из {C, P, S, K, r} и время до экспирации. Паритет бесплатно даёт вам пятую.

Это наиболее практичное применение. Вы видите цену колла и хотите узнать справедливую цену пута. Или видите пут и хотите вывести подразумеваемый колл. Перепишите тождество:

Решаем относительно пута

P = C − S + K·e⁻ʳᵀ

Решаем относительно колла

C = P + S − K·e⁻ʳᵀ

Выберите, какую переменную находить. Введите остальные. Калькулятор сделает остальное.

Найти:

Цена колл (C)

$

Спот-цена (S)

$

Цена страйка (K)

$

Безрисковая ставка (r)

%

Время до экспирации (T)

лет

Цена пут (P)

$4.21

Из: C − P = S − K·e⁻ʳᵀ

Проверка

C − P = 10.45 − 4.21 = 6.24

S − PV(K) = 105.00 − 98.76 = 6.24

Раздел 4

Поиск нарушений

Когда паритет нарушается, появляются бесплатные деньги. Вопрос в том, достаточно ли велико нарушение, чтобы покрыть транзакционные издержки.

Классические арбитражные сделки, поддерживающие паритет, — это конверсия и реверс.

Если C − P > S − PV(K): Коллы переоценены. Выполните конверсию — продайте колл, купите пут, купите базовый актив, займите PV(K).

Если C − P < S − PV(K): Путы переоценены. Выполните реверс — купите колл, продайте пут, продайте базовый актив, дайте в долг PV(K).

Задайте цены ниже, чтобы создать нарушение. Детектор покажет вам, какие именно сделки совершить, и безрисковую прибыль. Попробуйте задать цену колла слишком высокой относительно пута.

Call (C)

$

Put (P)

$

Spot (S)

$

Страйк (K)

$

Ставка (r)

%

Время (T)

лет

C − P$7.00

S − PV(K)$6.24

Разница$0.76

Паритет нарушен на $0.76. Коллы переоценены относительно путов.

Конверсия (продайте переоценённую сторону колл):

1Продатьколл по $12.00

2Купитьпут по $5.00

3Купитьбазовый актив по $105.00

4Занять$98.76 по безрисковой ставке

Безрисковая прибыль:$0.76

На экспирации вы поставляете базовый актив по K независимо от того, где окажется spot. конверсия фиксирует разницу паритета $0.76 как безрисковую прибыль.

Проверка реальностью

На практике арбитраж не бесплатен. Нужна маржа для короткого опциона и базового актива. Риск исполнения означает, что цены могут сдвинуться между ногами. Позиции на разных площадках добавляют контрагентский риск. Нарушение должно превышать все издержки вместе взятые. Именно поэтому небольшие отклонения сохраняются — они внутри безарбитражной полосы.

Раздел 5

PCP на практике

Крипторынки иногда показывают нарушения паритета, которые в акциях были бы разобраны арбитражем за секунды. Вот почему.

Ставки финансирования. Когда финансирование перпов крайне положительное (бычий рынок), держать короткую позицию в базовом активе дорого. Реверсы стоят дороже. Это позволяет путам торговаться с относительной премией, создавая видимые нарушения паритета, которые отражают реальные издержки удержания.

Фрагментация между площадками. Опционы живут на Deribit. Спот живёт на Binance, Bybit, OKX. Вы не можете атомарно исполнить все ноги конверсии на одной площадке. Ноги находятся на разных биржах с разными системами маржи. Это расширяет безарбитражную полосу.

Издержки маржи. И короткий опцион, и позиция в базовом активе требуют маржи. Капитал, замороженный в конверсии, приносит небольшую доходность, но не может быть задействован в другом месте. Альтернативная стоимость капитала — это реальная издержка.

Механика расчёта. Крипто-опционы могут рассчитываться в базовом активе (инверсные) или в USD (линейные). Способ расчёта меняет вычисление кэрри. У инверсного BTC-опциона другая экономика, чем у линейного, даже при том же страйке.

Когда нарушения реальны, а когда — шум

Нарушение в $0.50 на страйке $100 — это 0.5%. Это в пределах нормального спреда бид-аск для крипто-опционов. Не настоящее нарушение.

Нарушение в $5.00 на страйке $100 — это 5%. Это либо устаревшая котировка, либо ошибка данных, либо реальное неверное ценообразование, которое разберут арбитражем за минуты. Прежде чем торговать, убедитесь, что котировки живые с обеих сторон.

Практическое правило: если нарушение меньше суммы спредов бид-аск по всем трём ногам (колл, пут, базовый актив), это шум. Если больше — проверьте данные. Если данные верны, кто-то оставляет деньги на столе.

Куда двигаться дальше:

Black-Scholes — модель ценообразования, соблюдающая паритет

Подразумеваемая волатильность — обе ноги должны подразумевать одинаковую IV

Базисные сделки — как базис влияет на форвард и паритет