Волатильность, зависящая от пути (PDV)

Каждая модель на этом сайте исходит из того, что волатильность зависит от того, где цена находится сейчас — от текущего уровня и, возможно, от текущего состояния волатильности. Волатильность, зависящая от пути (Guyon & Lekeufack, 2023) утверждает, что этого недостаточно. Волатильность зависит ещё и от того, где цена была. Монета, которая обвалилась на 10% и восстановилась до $100, торгуется не так, как та, что всё это время держалась на$100. У монеты, прошедшей обвал и восстановление, повышенная подразумеваемая волатильность, более крутой скью и более широкие крылья — потому что рынок помнит обвал.

💡

У рынков есть память

Если BTC только что пережил просадку на 15%, волатильность остаётся повышенной даже после того, как цена восстановилась. PDV делает волатильность функцией двух вещей: недавней реализованной волатильности и недавнего ценового тренда. Это вся модель. Поверхность волатильности смещается в ответ на путь, а не только на текущую цену.

Посмотрите в действии

Переключайтесь между траекторией обвала-восстановления и плоской траекторией. Обе заканчиваются на одной и той же цене, но дают разные улыбки волатильности. Перетащите ползунок памяти, чтобы увидеть, как окно ретроспективы влияет на эффект.

Волатильность, зависящая от траектории

Цена упала на 10% и отскочила. Память траектории удерживает волатильность повышенной даже после восстановления цены.

Недавняя траектория цены

Итоговая улыбка волатильности

Память траектории (ретроспективное окно)30 дн.

1 день (короткая память)90 дней (длинная память)

Переключайтесь между сценариями, чтобы увидеть, как одна и та же текущая цена даёт разные улыбки в зависимости от недавней траектории. Перетащите ползунок памяти, чтобы увидеть, как ретроспективное окно меняет эффект.

Как это работает

1. Два входных параметра из ценового пути

PDV сводит недавнюю историю цены к двум числам:

Вход

Что он отражает

Интуиция трейдера

Недавняя реализованная волатильность

Насколько сильно двигалась цена в пределах окна ретроспективы.

Вы и так проверяете это на любой панели волатильности. Высокая недавняя RV = повышенная IV.

Недавний тренд

Чистое изменение цены за окно ретроспективы (вверх или вниз).

Сильное движение вниз делает скью круче. Ралли его сглаживает. Вы видите это ежедневно.

2. Волатильность — функция этих двух входов

Модель говорит: подразумеваемая волатильность на любом страйке является функцией текущего спота плюс этих двух сводок по пути. Никакой стохастической переменной состояния волатильности, никакого дробного исчисления, никакой скрытой марковской цепи. Просто: «где находится цена, насколько сильно она двигалась и в каком направлении?»

3. Поведение rough vol без rough-моделей

Такая конструкция воспроизводит несколько «сложных» явлений:

• Кластеризация волатильности — высокая волатильность порождает высокую волатильность, потому что недавняя реализованная волатильность остаётся повышенной
• Эффект левериджа — движения вниз увеличивают волатильность сильнее, чем движения вверх, потому что входной параметр тренда перекашивает функцию. Даёт скью, который меняется в зависимости от недавней доходности.
• Масштабирование в духе rough vol — видимая «шероховатость» траекторий волатильности возникает естественным образом из зависимости от пути, без необходимости в дробном броуновском движении
• Совместная калибровка SPX/VIX — модель калибруется одновременно и к опционам на индекс, и к опционам на VIX, чего большинство моделей сделать не могут

ℹ️

Почему это важно для крипты

Крипторынки обладают экстремальной зависимостью от пути. После каскада ликвидаций волатильность остаётся повышенной несколько дней, даже если цена восстановилась. После долгого медленного роста волатильность сжимается. PDV улавливает это напрямую. Традиционные модели относятся к любому уровню в 60k BTC одинаково — PDV же отличает «60k после обвала с 70k» от «60k после ралли с 50k». Это различие имеет значение для ценообразования и дельта-хеджирования.

PDV в сравнении с другими моделями

Характеристика

Heston / SABR

Rough Bergomi

PDV

Волатильность зависит от

Только текущего состояния

Полной истории волатильности (дробной)

Недавней RV + тренда

Память о пути

Отсутствует (марковская)

Бесконечная (степенной закон)

Конечная (окно ретроспективы)

Сложность

Низкая

Высокая (немарковская)

Низкая

Совместная подгонка SPX/VIX

Плохая

Средняя

Хорошая

Кластеризация волатильности

Частичная

Да

Да

Скорость симуляции

Быстрая

Медленная

Быстрая (марковская)

Зрелость

Десятилетия

~10 лет

Новая (2023)

Сильные стороны и ограничения

Сильная сторона

Что это значит для вас

Интуитивно понятные входы

Недавняя реализованная волатильность и тренд — это то, за чем следит каждый трейдер. Никаких абстрактных переменных состояния.

Марковская (быстро симулируется)

Несмотря на учёт эффектов пути, модель марковская в (S, реализованная волатильность, тренд). Монте-Карло работает со стандартной скоростью.

Rough vol без rough-математики

Воспроизводит свойства масштабирования моделей rough vol без дробного исчисления и немарковской симуляции.

Совместная калибровка

Калибруется одновременно к ванильным опционам и продуктам на волатильность волатильности (опционы на VIX, свопы на волатильность).

Ограничение

Что это значит для вас

Выбор окна ретроспективы

Параметр памяти важен и должен быть выбран или подогнан. Разные окна дают разные поверхности.

Нет ценообразования в замкнутой форме

Цены опционов требуют симуляции Монте-Карло. Медленнее, чем аппроксимации Heston или SABR в замкнутой форме.

Новая (2023)

Ограниченный производственный опыт. Граничные случаи и режимы отказа задокументированы не полностью.

Нужна история цены

Нельзя оценить опционы на совершенно новый токен без истории торгов. Нужно достаточно данных, чтобы вычислить реализованную волатильность и тренд.

💡

Простейшая модель волатильности, зависящей от пути

PDV использует недавнюю реализованную волатильность и недавний тренд, чтобы объяснить динамику улыбки, которую упускают стохастические модели волатильности. Воспроизводит rough vol, кластеризацию волатильности и эффекты левериджа без экзотической математики. Вега в рамках PDV отличается от Блэка-Шоулза, потому что состояние пути меняет форму улыбки. Компромисс: модель новая, требует Монте-Карло и зависит от выбора окна ретроспективы.

Исследователь уравнений

Конвертируйте между подразумеваемой волатильностью, полной дисперсией, лог-монейностью и ценами опционов.

Исследователь формул

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Подразумеваемая вол. (σ)

%

Подразумеваемая волатильность

Время до экспирации

дн.

Календарные дни до экспирации

Полная дисперсия (w)

0.022225

Годовая дисперсия (σ²)

0.2704

IV (обратный пересчёт)

52.00%

Полная дисперсия — это то, что калибруют SVI и другие модели. Она растёт со временем: волатильность 50% на 30 дней даёт меньшую полную дисперсию, чем 50% на 90 дней.

Проверьте свое понимание перед тем, как продолжить.

Q: BTC на уровне $65k. Он пришёл сюда, обвалившись с $72k и восстановившись. Как в рамках PDV поверхность волатильности отличается от сценария, в котором BTC медленно дрейфовал вверх с $60k?

Q: Почему PDV воспроизводит поведение в духе rough vol без использования дробного броуновского движения?

Q: Вы выбираете окно ретроспективы для PDV на опционах ETH. В чём компромиссы между 7 днями и 60 днями?

💡 Совет: Попробуйте ответить на каждый вопрос самостоятельно, прежде чем открывать ответ.

---

См. также:

• Модель SABR — Классическая стохастическая волатильность без зависимости от пути
• Rough Bergomi — Дробная модель волатильности, которую PDV может аппроксимировать
• Модель Heston — Стохастическая волатильность с возвратом к среднему (марковская, без памяти о пути)
• Neural SDE / Deep Hedging — Ещё один подход к моделированию волатильности на основе данных
• Режимы волатильности — Понимание режимов, которые PDV естественно улавливает