Merton Jump-Diffusion с нуля
1/5Блэк-Шоулз не умеет обваливаться
Блэк-Шоулз предполагает, что цена движется непрерывно — тик за тиком, без телепортации. В 99% случаев это нормально. Оставшийся 1% — именно то, что вас разоряет.
Рынки гэпают. Публикация отчётности, геополитические шоки, взломы протоколов — цена мгновенно прыгает с одного уровня на другой, минуя всё между ними. Модель, знающая только диффузию, буквально не способна присвоить этим событиям вероятность.
Решение Роберта Мертона (1976): сохранить диффузию, но добавить второй источник случайности — пуассоновский процесс который срабатывает в случайные моменты. При срабатывании цена прыгает на случайную величину из логнормального распределения.
dN — пуассоновский счётчик. Обычно 0. Изредка 1 (происходит скачок).
J — множитель скачка. ln(J) ~ Normal(μJ, σJ²). Если J = 0.9, цена мгновенно падает на 10%.
λ — среднее число скачков в год. k = E[J − 1] — компенсатор, чтобы дрейф оставался чистым.
Ниже показаны три смоделированные траектории цены по модели Мертона. Большую часть времени траектория — гладкая диффузия. Затем появляется вертикальная линия — это скачок. Увеличьте λ, чтобы скачки стали чаще, или сделайте μJ более отрицательным, чтобы увидеть поведение, похожее на крах.
Представьте диффузию как ходьбу по комнате: маленькие непрерывные шаги. Теперь добавьте в пол люки. Большинство шагов обычные, но иногда вы проваливаетесь в люк и оказываетесь в неожиданном месте. Это и есть скачковая компонента.
Три новых параметра
Помимо обычной σ (диффузионной волатильности) Мертон добавляет три параметра, которые вместе определяют форму улыбки подразумеваемой волатильности. У каждого своя роль.
λ (лямбда) — частота скачков. Среднее число скачков в год. Чем выше λ, тем чаще скачки, что поднимает оба крыла улыбки. Если λ = 0, вы снова в мире Блэка-Шоулза.
μJ (мю-J) — средний размер скачка. Если он отрицателен, скачки в основном направлены вниз (крахи). Это наклоняет улыбку — левое крыло (путы) дорожает сильнее правого (коллы). При нуле скачки симметричны, и улыбка примерно симметрична.
σJ (сигма-J) — волатильность размера скачка. Насколько изменчив размер скачка. Даже если μJ = 0, высокая σJ означает, что одни скачки огромны, а другие крошечны. Это добавляет избыточный эксцесс — хвосты толще нормальных, — что усиливает кривизну крыльев.
Поиграйте со слайдерами выше. Три эксперимента:
1. Установите λ = 0. Улыбка становится плоской — чистый BS.
2. Установите λ = 2, μJ = −0.15,σJ = 0.05. Получится крутой скью вниз — рынок ждёт крахов сильнее, чем ралли.
3. Установите μJ = 0, σJ = 0.30. Оба крыла поднимаются симметрично — чистые толстые хвосты, без направленного смещения.
Формула ценообразования
Формула ценообразования Мертона элегантна: цена опциона — это взвешенная сумма цен Блэка-Шоулза, по одной на каждое возможное число скачков. Если вы умеете оценивать ванильные колл-опционы по BS, вы умеете оценивать по Мертону.
σn² = σ² + nσJ²/τ — каждый дополнительный скачок добавляет эффективную дисперсию.
Вес — это пуассоновская вероятность — шанс ровно n событий за время τ.
На практике достаточно 10–15 членов, поскольку пуассоновские веса быстро убывают.
Визуализация ниже раскладывает цену Мертона на первые шесть членов. Левая панель показывает столбики для каждого члена на выбранном страйке. Правая — как члены складываются по всем страйкам: видно, какие доминируют на деньгах (ATM), а какие — на крыльях.
Ключевое наблюдение: член n=0 (ноль скачков) — это просто обычная цена Блэка-Шоулза. Старшие члены добавляют всё больше стоимости крыльям, потому что скачки повышают эффективную волатильность и делают далёкие страйки достижимыми.
Передвиньте слайдер страйка к крыльям (K=80 или K=120). Обратите внимание, как члены с большим n становятся пропорционально важнее. На деньгах (ATM) доминирует n=0. На крыльях всерьёз начинают работать n=1 и n=2 — именно там сосредоточена премия за скачковый риск.
Скачковый риск нехеджируем
В Блэке-Шоулзе дельта-хеджирование устраняет весь риск — вы ребалансируете непрерывно, и диффузионный риск взаимно компенсируется. Со скачками это ломается. Скачок происходит мгновенно; ребалансировать так быстро невозможно.
Подумайте: дельта-хеджирование работает через корректировку позиции в базовом активе в ответ на малые изменения цены. Но скачок не мал — цена телепортируется. Пока вы успеете отреагировать, ущерб (или неожиданная прибыль) уже случился. Ваш хедж был рассчитан на цену до скачка, а не после.
Это значит, что рынок Мертона неполон. Нельзя реплицировать любую выплату с помощью одних лишь базового актива и облигации. Скачковый риск — отдельный фактор риска, который рынок вынужден оценивать. Именно поэтому опционы в реальном мире несут премию сверх того, что подразумевала бы логика дельта-хеджирования BS.
Нажмите «Перегенерировать» несколько раз и понаблюдайте за картиной. На панели BS (слева) накопленный PnL блуждает, но остаётся относительно сдержанным — хедж делает своё дело. На панели Мертона (справа) PnL большую часть времени выглядит похоже, но затем появляется красная вертикальная полоса (скачок), и PnL резко дёргается.
Шоки PnL от скачков асимметричны при μJ < 0: скачки вниз вредят хеджеру (у которого короткая гамма) сильнее, чем скачки вверх помогают. Это фундаментальная причина того, что путы на случай краха несут премию — кто-то должен получать компенсацию за принятие этого нехеджируемого скачкового риска.
Мертон vs. Хестон vs. реальность
Мертон блестяще описывает улыбки на коротких сроках. Хестон — на длинных. Реальности нужны обе модели — поэтому модель Бейтса (Хестон + скачки) стала рабочей лошадкой индустрии.
Ключевое различие:
На коротких сроках доминируют скачки. Недельный опцион слишком короток, чтобы стохастическая волатильность успела осмысленно «продиффундировать». Но одиночный скачок всё же может достичь далёкого страйка. Компонент скачка Мертона — основной драйвер цен крыльев для краткосрочных опционов.
На длинных сроках доминирует стохастическая волатильность. За 6 месяцев сама волатильность достаточно блуждает вверх и вниз, чтобы породить толстые хвосты собственными силами. Скачки «размываются» усреднением — один скачок за 252 торговых дня значит меньше, чем один за 5.
Крылья на длинных сроках → волатильность волатильности → Хестон
И то и другое → Бейтс = Хестон + скачки Мертона
Практическое следствие: если откалибровать Мертона по месячным опционам и затем оценивать годовые, длинная улыбка окажется слишком плоской. Скачковая компонента затухает как √τ, но рыночная улыбка на длинных сроках остаётся приподнятой, потому что сама волатильность неопределённа.
И наоборот, один Хестон недооценивает крылья на коротких сроках. Процесс волатильности слишком медленный, чтобы создать экстремальный краткосрочный эксцесс, которого требует рынок. Для этого нужны скачки.
Блэк-Шоулз: плоская улыбка. Ни скью, ни крыльев. Простейший бенчмарк.
Мертон: улыбка с приподнятыми крыльями, особенно на коротких сроках. Скью, если μJ < 0. Улыбка выравнивается с ростом срока по мере размывания скачков.
Хестон: улыбка за счёт волатильности волатильности. Улыбка сохраняется на длинных сроках. Скью создаётся корреляцией вола и спота (ρ).
Бейтс: Хестон + скачки Мертона. Воспроизводит временную структуру улыбки от коротких до длинных сроков. Стандартный выбор индустрии для акций и крипты.
Что изучить дальше:
Модель Хестона — стохастическая волатильность, вторая половина картины
Модель Бейтса — Хестон + скачки: рабочая лошадка индустрии
Скачкообразная диффузия Коу — асимметричные скачки с двойными экспоненциальными хвостами