Модель Мертона со скачками

Модель Блэка-Шоулза предполагает, что цены движутся плавно — без гэпов и внезапных обвалов. Мертон (1976) добавляет скачки. Цена может внезапно телепортироваться вверх или вниз, а не только диффундировать. Рынок открывается с гэпом. Стейблкоин теряет привязку за один блок.

Отсюда напрямую следуют толстые хвосты и крутые улыбки на коротких сроках. Больше риска скачков = более крутые крылья на поверхности волатильности.

💡

Почему скачки важны для опционов

Пут вне денег (OTM) с экспирацией через 2 дня почти ничего не стоит по Блэку-Шоулзу — диффузии просто не хватит времени, чтобы дойти до страйка. Но если рынок может прыгнуть на 15% за ночь, у этого пута появляется реальная ценность. Модели со скачками учитывают именно это. Поэтому улыбки на коротких сроках такие крутые.

Исследуйте параметры

Начните с режима «Без скачков», чтобы увидеть плоскую улыбку Блэка-Шоулза. Затем переключитесь на «Риск обвала» и посмотрите, как круче становится путовое крыло.

Исследователь улыбки модели Merton (скачкообразная диффузия)

Один ожидаемый обвал в год, в среднем -15%. Крутой пут-скью из-за риска скачков вниз.

Интенсивность скачков1.00

Ожидаемое число скачков в год. 0 = Black-Scholes.

Средний размер скачка-0.15

Отрицательное = уклон в сторону обвала. -0.10 означает скачок в среднем на -10%.

Волатильность скачков0.20

Насколько изменчив каждый скачок. Выше = круче крылья.

Базовая волатильность0.20

Диффузионная волатильность (между скачками).

Начните с «Без скачков», чтобы увидеть плоский Black-Scholes, затем переключитесь на «Риск обвала», чтобы увидеть, как скачки формируют скью.

Что делает каждый параметр

• Лямбда (интенсивность скачков): Сколько скачков в год вы ожидаете. Ноль = Блэк-Шоулз. Единица = примерно одно событие масштаба обвала в год. В крипте значение может достигать 2–3.
• Средний размер скачка: Среднее направление скачка. Отрицательное значение = обвалы встречаются чаще, чем взлёты. Именно это создаёт путовый скью.
• Волатильность скачка: Насколько изменчив каждый скачок. Даже если средний скачок равен нулю, высокая волатильность скачков создаёт толстые хвосты (поднимаются оба крыла).
• Базовая волатильность (сигма): Обычная диффузионная волатильность между скачками. Она задаёт общий уровень.

Как скачки формируют улыбку

Изменение параметра

Эффект на улыбку

Интуиция

Увеличить лямбду

Поднимаются оба крыла

Больше скачков = больше хвостового риска = OTM-опционы стоят дороже

Более отрицательный средний скачок

Путовое крыло становится круче

Обвалы вероятнее взлётов, поэтому путы дорожают

Увеличить волатильность скачка

Крылья становятся круче

Каждый скачок менее предсказуем, поэтому экстремальные движения становятся вероятнее

Увеличить базовую волатильность

Вся улыбка сдвигается вверх

Большая диффузионная волатильность повышает цены всех опционов

Улыбка от скачков vs. улыбка от стохастической волатильности

Модель Мертона и Хестона (стохастическая волатильность) обе порождают улыбку, но делают это по-разному. Для трейдинга это различие имеет значение.

Мертон (скачки)

Хестон (стох. волатильность)

Что создаёт улыбку?

Внезапные ценовые гэпы

Случайная волатильность

Поведение на коротких сроках

Крутая улыбка (доминирует риск скачков)

Умеренная улыбка (волатильности не хватает времени измениться)

Поведение на длинных сроках

Улыбка выравнивается (скачки усредняются)

Улыбка сохраняется (случайность волатильности накапливается)

Форма хвостов

Толстые хвосты от дискретных скачков

Толстые хвосты от кластеризации волатильности

Лучше подходит для

Опционов с короткой экспирацией, событийного риска

Опционов с длинной экспирацией, торговли волатильностью

ℹ️

Короткие сроки vs. длинные сроки

Модель Мертона наиболее полезна для опционов с короткой экспирацией, где доминирует риск скачков. На длинных сроках вступает в силу центральная предельная теорема — множество мелких скачков выглядят как диффузия, и улыбка, порождённая только скачками, затухает. На дальнем конце временной структуры главную роль берёт на себя стохастическая волатильность.

Модель Мертона в крипте

Крипта — возможно, та область, где модель Мертона нужнее всего. Рынки торгуются 24/7, но разрывы ликвидности случаются постоянно: сбои бирж, отказы оракулов, внезапные каскады ликвидаций. Всё это — скачки. Уровень на деньгах (ATM) может почти не измениться, но крылья резко становятся круче.

Событие в крипте

Характер скачка

Влияние на улыбку

Флеш-крэш / каскад ликвидаций

Большой отрицательный скачок

Крутой путовый скью, особенно на коротких сроках

Депег стейблкоина

Отрицательный скачок с высокой волатильностью

Экстремальное путовое крыло, повышенное колловое крыло

Позитивный катализатор (одобрение ETF и т.п.)

Положительный скачок

Колловое крыло поднимается, временный разворот скью

Сбой биржи во время волатильности

Гэп в любую сторону

Оба крыла повышены (чистый эксцесс)

💡

Простейшая модель, оценивающая риск гэпов

Модель Мертона объясняет, почему OTM-опционы с короткой экспирацией стоят дороже, чем предсказывает Блэк-Шоулз. Если вы торгуете недельными или короткими крипто-опционами, риск скачков — это именно то, что вы на самом деле оцениваете. Дельта-хеджирование по Мертону отличается от Блэка-Шоулза, потому что скачковую компоненту захеджировать невозможно — реплицировать можно только диффузионную часть. Экспозиция по веге структурно выше.

Обозреватель уравнений

Пересчитывайте между подразумеваемой волатильностью, полной дисперсией, лог-монейностью и ценами опционов.

Исследователь формул

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Подразумеваемая вол. (σ)

%

Подразумеваемая волатильность

Время до экспирации

дн.

Календарные дни до экспирации

Полная дисперсия (w)

0.022225

Годовая дисперсия (σ²)

0.2704

IV (обратный пересчёт)

52.00%

Полная дисперсия — это то, что калибруют SVI и другие модели. Она растёт со временем: волатильность 50% на 30 дней даёт меньшую полную дисперсию, чем 50% на 90 дней.

---

Проверьте свое понимание перед тем, как продолжить.

Q: Почему Блэк-Шоулз недооценивает короткие OTM-опционы?

Q: Что происходит с улыбкой Мертона при увеличении срока до экспирации?

Q: Если средний размер скачка равен нулю, но волатильность скачков высокая, как выглядит улыбка?

💡 Совет: Попробуйте ответить на каждый вопрос самостоятельно, прежде чем открывать ответ.

Формируем математическую интуицию

Изучить скачки Мертона с нуляИнтерактивный урок · без предварительных знаний

Этот урок начинается с простого вопроса «что, если цена может телепортироваться?», а затем выстраивает полную интуицию по интенсивности скачков, их размеру и тому, почему крылья на коротких сроках становятся дорогими.

---

См. также:

• Блэк-Шоулз — базовая модель без скачков
• Модель Хестона — стохастическая волатильность (другой способ получить улыбку)
• Variance Gamma — модель чистых скачков вообще без диффузии
• Скью — почему улыбка наклонена