Как строятся поверхности волатильности

На рынке вы не видите непрерывную поверхность. Вы видите разрозненные котировки по горстке страйков и экспираций. «Поверхность» строится путём конвертации этих котировок в подразумеваемую волатильность, заполнения пробелов и наложения правил согласованности, чтобы никто не мог извлечь бесплатные деньги.

Эта страница проведёт вас через весь конвейер: на входе — сырые котировки, на выходе — гладкая поверхность.

Шаг 1: начните с разреженных котировок

Опционные рынки не котируют каждый возможный страйк и каждую экспирацию. По любому инструменту вы можете увидеть котировки в 15–20 комбинациях из сотен возможных точек сетки. Большая часть поверхности пуста.

От котировок к поверхности

Долларовые цены из книги заявок. Большинство ячеек пустые.(67% покрытия, 8 пробелов)

Страйк	7d	14d	30d	60d
$85k	$120	$340	--	--
$90k	$450	$820	$1,400	--
$95k	$1,200	--	$2,800	$4,200
$100kATM	$3,500	$4,800	$6,200	--
$105k	$1,800	$3,100	--	$5,800
$110k	$650	--	$2,100	--

Есть котировка

Нет котировки

Пройдите по трём шагам выше. Обратите внимание, что в Raw Quotes большинство ячеек пусты. В Extract IV мы инвертируем каждую цену через модель Блэка-Шоулза и получаем подразумеваемую волатильность, но те же пробелы остаются. Лишь после Interpolate заполняется каждая ячейка, причём ячейки с пометкой «SVI» на рынке не наблюдались.

В этом и состоит главная задача: превратить разреженные, зашумлённые наблюдения в нечто гладкое и внутренне согласованное. Разберём, как работает каждый шаг.

Шаг 2: конвертируйте цены в IV

Каждую котируемую цену опциона нужно конвертировать в подразумеваемую волатильность: то значение $\sigma$, при котором цена по модели Блэка-Шоулза совпадает с рыночной.

Замкнутого решения не существует. Мы решаем численно: пробуем волатильность, считаем цену по BS, проверяем совпадение и сужаем диапазон. Посмотрите, как решатель сходится шаг за шагом:

Поиск корня IV: наблюдайте за сходимостью солвера

Солвер сужает диапазон возможных волатильностей, пока цена BS не совпадёт с рыночной ценой.

Spot Strike DTE Market Price

Шаг	Проба σ	Цена BS	vs Цель	Диапазон
1	150.50%	$11278	> слишком высоко	[1.0%, 300.0%]
2	75.75%	$5825	> слишком высоко	[1.0%, 150.5%]
3	38.38%	$2995	< слишком низко	[1.0%, 75.8%]
4	57.06%	$4421	> слишком высоко	[38.4%, 75.8%]
5	47.72%	$3711	> слишком высоко	[38.4%, 57.1%]
6	43.05%	$3354	< слишком низко	[38.4%, 47.7%]
7	45.38%	$3533	> слишком высоко	[43.0%, 47.7%]
8	44.21%	$3444	< слишком низко	[43.0%, 45.4%]
9	44.80%	$3488	< слишком низко	[44.2%, 45.4%]
10	45.09%	$3511	> слишком высоко	[44.8%, 45.4%]
11	44.94%	$3499	= совпадение	[44.8%, 45.1%]

Решено за 11 шагов: IV = 44.94%

Жёлтая линия — рыночная цена. Каждая проба (точка) вычисляет BS при данной волатильности. Затенённая область показывает, как оставшийся диапазон поиска сужается с каждым шагом.

Меняйте входные данные, чтобы увидеть, как ведёт себя решатель при разных страйках (OTM против ATM), сроках и ценах. Обратите внимание, как диапазон поиска (затенённая область) уменьшается вдвое на каждом шаге. Большинство промышленных систем используют метод Брента (гарантированная сходимость) или рациональную аппроксимацию Йекеля (машинная точность за один шаг).

После инвертирования каждой котируемой цены мы получаем разреженную сетку значений IV. Но эти значения не постоянны по страйкам. Прежде чем заполнять пробелы, нужно понять, какие формы естественным образом принимает кривая IV.

Шаг 3: разберитесь в формах

Если бы мир идеально соответствовал модели Блэка-Шоулза (логнормальные доходности, постоянная волатильность), подразумеваемая волатильность была бы одинаковой на каждом страйке. Но это не так. Расхождение говорит о чём-то реальном на рынке, и понимание этих форм необходимо для выбора правильной интерполяции.

Почему IV различается по страйкам

Волатильность случайна. Модель Блэка-Шоулза предполагает, что она постоянна. Когда сама волатильность колеблется, OTM опционы становятся более ценными, чем предсказывает Блэк-Шоулз. OTM опцион асимметрично выигрывает от изменений волатильности: если волатильность растёт, опцион приближается к деньгам и быстро дорожает; если волатильность падает, опцион и так почти ничего не стоит и теряет мало. Эта выпуклость означает, что OTM опционы стоят дороже при неопределённой волатильности, что проявляется в повышенной IV на крыльях. Чем сильнее колеблется волатильность (выше «волатильность волатильности»), тем шире улыбка.

Спот и волатильность движутся вместе. Сама по себе улыбка была бы симметричной. Скью возникает из-за того, что на большинстве рынков при падении цен волатильность растёт. Трейдеры называют это «вверх по эскалатору, вниз по жёлобу». OTM путы (которые выплачивают при крахе) стоят дороже, чем считает Блэк-Шоулз, потому что крах будет сопровождаться всплеском волатильности, который сделает их ещё ценнее. OTM коллы стоят дешевле, потому что ралли, как правило, сжимают волатильность. Результат — пут-смирк: левое крыло торгуется с более высокой IV, чем правое. Подробнее о формах улыбки — в уроке курса по волатильности об улыбке и смирке.

Четыре формы, которые вы увидите

Формы смайла и скью

Левое крыло повышено, правое крыло низкое

Когда наблюдается: Самая распространенная. Страх обвала доминирует. Спрос на хеджирование повышает OTM путы.

25д Риск-реверсал

+14

Баттерфляй

3.0

Пройдите по каждой форме. 25-дельта риск-реверсал (внизу слева) измеряет наклон: положительное значение означает, что путы дороже, отрицательное — что дороже коллы. Бабочка (внизу справа) измеряет кривизну независимо от направления.

Skew Visualization

25d Risk Reversal: +20.0%

Сила скоса: Пут-скос

Колл-скосПлоскийПут-скос

Перемещайте ползунок, чтобы увидеть, как скос изменяет кривую IV по страйкам. Пут-скос (положительный RR) — нормальное явление; колл-скос встречается редко.

Перетащите ползунок, чтобы увидеть, как сила скью меняет кривую. Риск-реверсал около нуля (плоский) означает, что у рынка нет выраженного направленного уклона.

Как IV меняется по времени

У поверхности есть второе измерение: временная структура волатильности.

Временная структура

Backwardation: Ближняя IV > дальняя. Сигнализирует о заложенном событийном риске.

Переключайте формы, чтобы увидеть, как меняется временная структура. Бэквордация часто сигнализирует о предстоящем событии.

Форма	Значение	Когда вы это видите
Контанго	IV дальних сроков > ближних	Спокойные рынки. Ожидается возврат волатильности к среднему вверх.
Плоская	Схожая IV по всем срокам	Нет выраженного взгляда на срочную структуру.
Бэквордация	IV ближних сроков > дальних	Риск события в ближайшей перспективе. Что-то конкретное разгоняет волатильность ближнего месяца.

Бэквордация — ключевой сигнал. Когда краткосрочная волатильность взлетает выше долгосрочной, рынок закладывает конкретный ближайший катализатор. После того как событие проходит, временная структура обычно возвращается в контанго. О том, как вся поверхность смещается в разных рыночных условиях, см. режимы волатильности.

Временная структура также содержит форвардную волатильность: ожидание рынка по волатильности между двумя будущими датами. Если 30-дневная IV равна 52%, а 90-дневная — 48%, подразумеваемая форвардная волатильность с 30-го по 90-й день составляет:

$$\sigma_{30 \to 90} = \sqrt{ \frac{ 0.48^2 \times 90 - 0.52^2 \times 30 }{ 60 } } \approx 45.5\%$$

Существенно ниже обеих спотовых волатильностей. Рынок говорит: «Ближайшие 30 дней будут бурными, но потом всё успокоится». Попробуйте посчитать форвардную волатильность с разными входными данными в Обозревателе уравнений (выберите вкладку «Forward Vol»). Если форвардная дисперсия становится отрицательной, это сигнализирует о календарном арбитраже.

Теперь, когда мы понимаем, какие формы должна принимать поверхность, можно грамотно заполнить пробелы.

Шаг 4: заполните пробелы

У нас есть разрозненные наблюдения IV, и мы знаем, какие формы они должны образовывать. Задача: заполнить каждую пустую ячейку, сохранив поверхность гладкой, стабильной и свободной от арбитража.

Сравнение методов интерполяции

Белые точки - единственные реальные рыночные котировки. Все промежуточные значения оценочные. Нажмите на каждый метод, чтобы увидеть его сильные и слабые стороны.

Белые точки — единственные реальные рыночные наблюдения. Всё между ними — оценка. Кликайте по каждому методу, чтобы увидеть его сильные и слабые стороны.

Два правила интерполяции

Нассим Талеб формулирует это через два принципа:

1. Устраняйте изломы. Линейная интерполяция создаёт острые углы. Нельзя ожидать, что на рынке подразумеваемая волатильность скачет разрывами между соседними страйками. Сглаживайте углы.

2. Подстраивайтесь под рынок. Если рынок использует определённую конвенцию интерполяции, ваш ценовой движок должен ей соответствовать. Риск-менеджмент может использовать любой метод, который вы считаете наиболее точным, но ваши котировки должны согласовываться с рыночной конвенцией, иначе вас будут выбирать против вас.

Что может пойти не так

Арбитраж. Если колл на $97k стоит слишком дёшево относительно $95k и $100k, трейдер может купить $97k и продать комбинацию двух других с безрисковой прибылью (арбитраж бабочки). Если поверхность подразумевает, что суммарная дисперсия убывает со сроком, существует календарный арбитраж.

Бессмысленные греки. Вогнутые провалы в улыбке дают отрицательную гамму для длинных опционов (невозможно) или отрицательную локальную дисперсию (ломает ценообразование экзотики).

Нестабильное ценообразование. Если сдвиг одной рыночной котировки вызывает большие изменения интерполированных значений вдалеке, поверхность зашумлена. Хеджирование начинает определяться артефактами модели, а не движениями рынка.

Методы вкратце

Метод	Коротко	Хорош для
Линейный	Прямые линии между точками	Только быстрые прикидки
Кубический сплайн	Гладкие полиномиальные кривые	Визуализация (не для продакшена)
SVI	5-параметрическая модель на каждую экспирацию	Опционы на криптовалюты и акции
ORC Wing	Удобная для трейдера репараметризация SVI	Ручное редактирование улыбки
SABR	4-параметрическая модель стохастической волатильности	Свопционы на процентные ставки
Локальная волатильность	Мгновенная волатильность по формуле Дюпира	Ценообразование экзотических опционов

Hypercall, Deribit и большинство криптодесков по волатильности используют SVI, потому что модель проста (5 параметров), быстра (калибруется за миллисекунды) и допускает ограничения, исключающие арбитраж. Подробное сравнение всех методов — в разделе Методы интерполяции.

Шаг 5: проверьте согласованность

Независимая подгонка каждой экспирации может дать внутренне несогласованную поверхность. Прежде чем публиковать поверхность, должны выполняться три ограничения.

Календарный арбитраж

Суммарная дисперсия должна возрастать со сроком на каждом страйке. Если это не так, можно продать краткосрочный стрэддл и купить более долгосрочный на том же страйке, собрав больше премии, чем вы платите. Бесплатные деньги.

$$\sigma(K, T_1)^2 \times T_1 \leq \sigma(K, T_2)^2 \times T_2 \quad \text{для всех } K \text{ при } T_1 < T_2$$

Проверка календарного арбитража

Суммарная дисперсия (σ² × T) должна расти с увеличением срока на каждом страйке.

Суммарная дисперсия растёт со сроком на каждом страйке. Календарного арбитража нет.

Переключайте состояния. Когда суммарная дисперсия 30д опускается ниже 7д, продажа стрэддла 7д и покупка стрэддла 30д дали бы безрисковую прибыль.

Переключайтесь между состояниями: Consistent (каждая кривая лежит выше предыдущей), Violation (кривая 30d проваливается ниже 7d около ATM) и After Fix (параметры скорректированы так, что ограничение выполняется).

Арбитраж бабочки

Цены коллов должны быть выпуклыми по страйку. Если в улыбке есть вогнутый провал (локальная впадина), спред-бабочка с центром в этом провале даёт безрисковую прибыль.

Монотонность колл-спреда

Цены коллов должны убывать по страйку, а скорость убывания должна оставаться в пределах от 0 до 1. Более высокий страйк — более высокая планка, поэтому такой колл всегда должен стоить меньше.

Результат: полная поверхность

После всех пяти шагов (инвертирование цен, понимание форм, заполнение пробелов, обеспечение согласованности) мы получаем гладкую, непрерывную поверхность волатильности. Вот она:

Поверхность волатильности

Спокойные рынки. Слабый пут-скью, легкое контанго.

Экспирация:

Страйк	7d	14d	30d	60d	90d
$80k	51%	52%	53%	55%	57%
$85k	50%	51%	52%	54%	56%
$90k	50%	50%	51%	54%	56%
$95k	49%	49%	51%	53%	55%
$100k(ATM)	48%	49%	50%	52%	55%
$105k	48%	49%	50%	53%	55%
$110k	49%	49%	50%	53%	55%
$115k	49%	49%	51%	53%	55%
$120k	49%	50%	51%	53%	55%

<45%

45-55%

55-65%

65-80%

80-100%

>100%

Нажмите на заголовки экспирации для среза скью. Нажмите на страйк для временной структуры.

В 3D-режиме тяните мышью для вращения и крутите колёсико для масштабирования. Переключайте сценарии, чтобы увидеть, как разные рыночные условия перестраивают поверхность. В 2D-режиме кликните по заголовку экспирации, чтобы выделить срез скью, или по страйку, чтобы увидеть его временную структуру.

Четыре сценария показывают, насколько кардинально меняется поверхность:

• Normal: Умеренный пут-скью, лёгкое контанго. Состояние по умолчанию.
• Pre-Event: Краткосрочная волатильность взрывается. Оба крыла приподняты, потому что направление неопределённо.
• Crisis: Всё повышено. Экстремальный пут-скью. Крутая бэквордация.
• Euphoria: Появляется колл-скью. OTM коллы разбирают по бидам. Редкость.

Как движется поверхность

Поверхность — не статичный объект. Она постоянно перестраивается, и понимание того, как именно она движется, важно для хеджирования.

Параллельный сдвиг: Вся поверхность поднимается или опускается. ATM-волатильность растёт на 3 пункта, и примерно каждая ячейка сдвигается на схожую величину. Это крупнейший источник P&L для позиций с вега-экспозицией.

Ротация: Ближний конец движется в одну сторону, дальний — в другую. Вот почему нельзя просто сложить веги 1-месячного и 1-годового опционов. Позиция с вегой $100k в 7-дневных опционах несёт куда большую экспозицию, чем вега $100k в 6-месячных, потому что краткосрочная волатильность реагирует сильнее.

Изменение формы: Улыбка становится круче, крылья расширяются или скью наклоняется сильнее. Позиция, нейтральная по уровню и наклону, всё равно может потерять деньги на изменении формы.

Локальная деформация: Отдельный страйк или узкая область движется независимо. Это происходит вокруг страйков с большим открытым интересом (пин-риск), барьерных уровней или необычного потока в конкретной экспирации.

Поверхность в разных рыночных режимах

Спокойные условия, без крупных событий. Умеренный пут-скью, легкое контанго.

Страйк	7 DTE	30 DTE	90 DTE
85k (OTM Put)	58%	55%	52%
90k	54%	52%	50%
95k	51%	50%	48%
100k (ATM)	48%	48%	47%
105k	46%	47%	46%
110k	45%	46%	46%
115k (OTM Call)	44%	45%	45%

На что обратить внимание:

• Умеренный пут-скью (~14 пунктов вол. от пута до колла)
• Легкое контанго (дальний срок чуть ниже)
• ATM вол. около 48% - типично для спокойного BTC

Обратите внимание на закономерность: кризисные поверхности показывают IV в 2–3 раза выше спокойных рынков. Обычно в скью доминируют путы, но эйфория может его развернуть. Спокойные рынки дают контанго, события — бэквордацию. Поверхности перед событиями имеют толстые крылья с обеих сторон, потому что направление неопределённо.

Соберите сами

Меняйте значения IV, проверяйте на арбитраж и наблюдайте результат в реальном времени.

Построй свой скью

Спокойный рынок, умеренное скью пут-опционов

ATM Вол: 50%

25Δ Риск-реверсал: +4.0%

25Δ Баттерфляй: +5.3%

Strike	Delta	IV(click to edit)
$80k	10Δ Put	67%
$85k	15Δ Put	62%
$90k	25Δ Put	57%
$95k	40Δ Put	53%
$100k	ATM	50%
$105k	40Δ Call	51%
$110k	25Δ Call	53%
$115k	15Δ Call	56%
$120k	10Δ Call	59%

ATM Vol: 50%

Put Skew: +12 vol pts

Call Skew: +4 vol pts

Smile Width: 5

Click IV values in the table to edit directly. Invalid configurations will show arbitrage warnings.

Обозреватель уравнений

Подставляйте значения и вычисляйте ключевые величины, используемые на этой странице: суммарную дисперсию, форвардную волатильность, лог-монейность и ценообразование по BS.

Исследователь формул

Спот (S)

$

Страйк (K)

$

Дней до экспирации

дн.

Безрисковая ставка

%

Подразумеваемая вол. (σ)

%

Цена колла

$8300

Цена пута

$7890

Δ колла

0.555

d₁

0.102

Вега

$114

Практическая мудрость

Несколько вещей, о которых стоит помнить при работе с поверхностями волатильности:

Поверхность — это модель, а не реальность. Лишь малая часть точек сетки происходит из реальных сделок. Торгуя неликвидным страйком, проверяйте спред бид/аск. Широкий спред = результат модели. Узкий спред = реальная ликвидность.

Котировки на крыльях недостоверны. Уровни волатильности глубоко OTM сильно зависят от модели калибровки. Две платформы с разными методами покажут разные IV крыльев для одного и того же базового актива. Наиболее надёжны греки на деньгах (ATM).

Не сравнивайте веги между сроками. Позиция с вегой $100k в 7-дневных опционах кардинально чувствительнее, чем вега $100k в 6-месячных. Взвешивайте веги (квадратный корень из времени — для начала, эмпирические коэффициенты лучше) перед их неттингом.

Гистограмма лжёт о скью. Скью невозможно вывести из гистограммы прошлых доходностей. Гистограммы скрывают путь: тот факт, что волатильность растёт на распродажах и сжимается на ралли. Скью — это про совместное движение спота и волатильности вдоль пути, а не про форму терминального распределения.

Модель Блэка-Шоулза неверна, но полезна. Трейдеры предпочли деформировать параметр волатильности неверной модели (создав поверхность), а не принять «правильную» модель с большим числом параметров. Каждый дополнительный параметр нужно оценивать, а ошибки оценки накапливаются. Поверхность — это прагматичный ответ рынка.

---

Подробный разбор моделей: SVI | ORC Wing | SABR | Локальная волатильность | Сравнение всех методов

См. также: Поверхность волатильности | Подразумеваемая волатильность | Скью | Временная структура