Локальная волатильность с нуля

1/5

Раздел 1

Подразумеваемая волатильность — это усреднённое значение

Ключевая идея локальной волатильности: подразумеваемая волатильность, которую вы наблюдаете для заданных страйка и экспирации, — это не волатильность в этой точке. Это взвешенное по траектории среднее всех локальных волатильностей вдоль пути.

Представьте это как поездку. Ограничение скорости меняется от города к городу (это локальные волатильности). Ваша средняя скорость за всю поездку — это подразумеваемая волатильность. Две поездки, заканчивающиеся в одном пункте назначения, могут иметь разную среднюю скорость, потому что проходили через разные города.

Ниже каждая траектория начинается при S=100 и заканчивается на одной и той же конечной цене. Но каждая проходит через разные ценовые области, у каждой из которых своя локальная волатильность. Подразумеваемая волатильность — это среднее по всем этим траекториям.

Траектории к одной и той же конечной цене

Траектории: 0

Добавьте больше траекторий и наблюдайте, как средняя волатильность стабилизируется. Каждая траектория проходит через разные локальные волатильности в зависимости от того, какие ценовые уровни она посещает. Фоновая заливка показывает ландшафт локальной волатильности — ярче означает выше волатильность.

Раздел 2

Что такое локальная волатильность?

Локальная волатильность — это мгновенная волатильность в конкретной точке (цена, время). Это ландшафт: при каждой спот-цене и в каждый момент времени есть своё значение волатильности.

Модель говорит: если базовый актив находится на цене S в момент времени t, мгновенная волатильность равна в точности σ(S, t). Никакой случайности в самой волатильности — это детерминированная функция от того, где находится цена и когда.

Наведите курсор на тепловую карту ниже, чтобы увидеть значение локальной волатильности в каждой точке. Обратите внимание на закономерность: волатильность выше при низких спот-ценах (левая сторона), ниже при высоких спот-ценах (правая сторона). Эта асимметрия порождает скью подразумеваемой волатильности.

Тепловая карта локальной волатильности

10%

80%Наведите курсор, чтобы посмотреть значения

Аналогия

Локальная волатильность — как топографическая карта скорости ветра. В каждой точке (широта, долгота) есть своя скорость ветра. Судно, идущее из A в B, испытывает разные ветра в зависимости от маршрута. Средняя скорость ветра за путь — это как подразумеваемая волатильность. Скорость ветра в каждой отдельной точке — это локальная волатильность.

Раздел 3

Формула Дюпира

Дюпир показал, что поверхность локальной волатильности можно извлечь напрямую из наблюдаемых цен опционов. Формула использует две частные производные функции цены колл-опциона.

Формула Дюпира

σ_loc²(K, T) = (∂C/∂T + rK·∂C/∂K) / (½K²·∂²C/∂K²)

∂C/∂T — как цена колл-опциона меняется с увеличением экспирации. Измеряет добавляемую временную стоимость.
∂²C/∂K² — кривизна цен колл-опционов по страйкам. Это плотность вероятности конечной цены (спред-бабочка). Когда этот член равен нулю, возникает арбитраж на бабочке, и локальная волатильность не определена.

Сетка ниже показывает цены колл-опционов по Блэку-Шоулзу, рассчитанные для поверхности подразумеваемой волатильности со скью. Кликните по любой внутренней ячейке, чтобы выбрать её. Переключайтесь между двумя видами производных, чтобы увидеть, какие соседние ячейки вносят вклад в числитель и знаменатель.

Формула Дюпира — производные визуализированы

T \ K	85	90	95	100	105	110	115
0.10y	15.60	11.06	7.30	5.36	2.28	0.81	0.26
0.25y	17.06	13.16	10.11	8.50	5.43	2.97	1.57
0.50y	19.57	16.19	13.57	12.06	9.70	6.42	4.22
0.75y	21.85	18.75	16.32	14.82	13.05	9.63	6.89
1.00y	23.93	21.00	18.68	17.15	15.63	12.64	9.52

Нажмите любую внутреннюю ячейку для перерасчёта. Синие ячейки показывают соседние экспирации, используемые для ∂C/∂T. Оранжевые ячейки показывают соседние страйки, используемые для ∂²C/∂K².

Dupire при K=100, T=0.50

σ_loc² = (∂C/∂T + rK·∂C/∂K) / (½K²·∂²C/∂K²)

∂C/∂T = 12.6358 | ∂²C/∂K² = -0.033887

Числитель (∂C/∂T) измеряет, сколько дополнительной временной стоимости рынок присваивает за более длинный срок — это информация о форвардной волатильности. Знаменатель (∂²C/∂K²) — это риск-нейтральная плотность вероятности. Их отношение выделяет мгновенную дисперсию в этой точке (K, T).

Раздел 4

От улыбки к поверхности

Улыбка подразумеваемой волатильности — кривая IV по страйкам — отображается в целую поверхность локальной волатильности. Изменение формы улыбки меняет ландшафт локальной волатильности.

Используйте слайдеры ниже, чтобы изменить улыбку подразумеваемой волатильности: её базовый уровень, скью (наклон) и кривизну (выпуклость). Левая панель показывает улыбку IV. Правая панель показывает результирующую тепловую карту локальной волатильности, рассчитанную по Дюпиру.

Улыбка подразумеваемой волатильности → Поверхность локальной волатильности

Улыбка IV (T=0.5y)

Тепловая карта локальной волатильности

Базовая волатильность30%

Скью-0.15

Кривизна0.10

Ключевые моменты, на которые стоит обратить внимание:

Локальная волатильность всегда экстремальнее подразумеваемой. Поскольку подразумеваемая волатильность усредняет по траекториям, она сглаживает пики и впадины локальной волатильности. Увеличьте кривизну и наблюдайте, как крылья локальной волатильности становятся гораздо более выраженными.

Добавление скью смещает локальную волатильность асимметрично. Отрицательный скью (типичный для рынков акций/крипты) даёт более высокую локальную волатильность слева (низкий спот) и более низкую справа.

Раздел 5

Почему это важно для экзотики

Для ванильных опционов подразумеваемой волатильности достаточно. Для всего пути-зависимого — барьерных, азиатских, lookback-опционов — нужно знать, где находится волатильность вдоль траектории, а не только конечное среднее.

Down-and-out колл-опцион выплачивается как обычный колл, если только цена не касается барьера по пути. Вероятность достижения барьера зависит от волатильности, которую цена испытывает вблизи уровня барьера. Две разные поверхности локальной волатильности могут давать одну и ту же цену ванильного колла, но совершенно разные цены барьерных опционов.

Одинаковые ванильные опционы — разные цены барьерных

Поверхность A — Симметричная улыбка

Поверхность B — Улыбка со скью

Ванильный ATM-колл (K=100)

Поверхность A$12.06

Поверхность B$12.06

Down-and-out колл (K=100, B=85)

Поверхность A$10.58

Поверхность B$10.53

Обе поверхности дают практически одинаковые цены ванильного ATM-колла. Но барьерный опцион — цена которого зависит от того, где сосредоточена волатильность на пути к барьеру — оценивается по-разному. Поверхность со скью концентрирует больше волатильности вблизи барьера, меняя вероятность нокаута.

Это ключевой аргумент в пользу локальной волатильности: она делает ваши цены экзотики согласованными с ванильными. Любой барьерный или путь-зависимый опцион, оценённый по локальной волатильности, гарантированно не противоречит наблюдаемым ценам ванильных опционов. Вы получаете одну единую модель вместо специальных подгонок.

Оговорка: локальная волатильность предсказывает неверную динамику улыбки (волатильность детерминирована, поэтому не может преподнести сюрприз). На практике дески используют стохастическую локальную волатильность (SLV) — локальную волатильность для точности калибровки плюс стохастическую компоненту для реалистичной динамики.

Куда двигаться дальше:

Параметризация SVI — модель, используемая для построения подразумеваемой поверхности, которая подаётся на вход Дюпиру

Модель SABR — альтернатива со стохастической волатильностью и лучшей динамикой

Методы интерполяции — сравнение всех методов