Локальная волатильность

к сведению

Эта страница посвящена модели локальной волатильности Дюпира. О том, как она вписывается в процесс построения поверхности волатильности, см. Как строятся поверхности. Сравнение с другими методами см. в разделе Методы интерполяции.

Локальная волатильность — это мгновенная волатильность базового актива на конкретном ценовом уровне в конкретный момент времени. Это функция $\sigma_{\text{loc}}(S, t)$, которая при подстановке в диффузионную модель точно воспроизводит все наблюдаемые цены европейских опционов.

Идея была разработана независимо Бруно Дюпиром (1994) и Дерманом и Кани (1994). Это единственная модель, которая соответствует всей поверхности подразумеваемой волатильности без каких-либо дополнительных допущений.

Подразумеваемая волатильность vs. локальная волатильность

Ключевая мысль: подразумеваемая волатильность — это усреднённая по траектории смесь локальных волатильностей на пути к экспирации. Локальная волатильность — это мгновенная, «точечная» волатильность.

Подразумеваемая волатильность vs локальная волатильность

Типичная улыбка для рынка акций/криптоактивов. Локальная волатильность выше и острее подразумеваемой.

Локальная волатильность (сплошная линия) всегда острее подразумеваемой (пунктир). Подразумеваемая волатильность — это взвешенное среднее локальных волатильностей вдоль траектории.

Переключайтесь между формами улыбки и обратите внимание:

• Локальная волатильность всегда более остроконечная. Поскольку подразумеваемая волатильность усредняется по траектории, она сглаживает экстремумы. Локальная волатильность показывает сырую, неусреднённую картину.
• Более крутой скью подразумеваемой волатильности = более резкая локальная волатильность. В случае крутого скью (кризис) локальная волатильность расходится в левом крыле. Модель как бы говорит: «Если спот упадёт так далеко, мгновенная волатильность должна быть очень высокой, чтобы соответствовать наблюдаемым ценам пут-опционов».
• Эта связь похожа на связь между спот-ставками и форвардными ставками. Подразумеваемая волатильность — это спот-ставка (среднее от текущего момента до погашения). Локальная волатильность — это форвардная ставка (мгновенная ставка в будущий момент).

Что означает локальная волатильность

Представьте цену базового актива, эволюционирующую через ландшафт волатильностей. В каждой точке пространства (цена, время) существует определённая волатильность. По мере блуждания базового актива он испытывает разные мгновенные волатильности.

30-дневный опцион ATM с подразумеваемой волатильностью 50% может проходить через локальные волатильности в диапазоне от 40% до 65% вдоль своей траектории. Подразумеваемая волатильность 50% — это риск-нейтральное среднее по всем этим локальным волатильностям, взвешенное по времени, проведённому на каждом уровне.

Именно поэтому два опциона с разными страйками могут иметь разную подразумеваемую волатильность, хотя они зависят от одного и того же процесса базового актива: они проходят через разные участки ландшафта локальной волатильности.

Когда применять локальную волатильность

Ценообразование экзотических опционов

Основной сценарий применения локальной волатильности. Процесс:

1. Наблюдаем цены европейских опционов (или подразумеваемые волатильности) на рынке
2. Подгоняем безарбитражную поверхность подразумеваемой волатильности (используя SVI, SSVI или аналогичные)
3. Выводим поверхность локальной волатильности по формуле Дюпира
4. Строим численный движок ценообразования (PDE методом конечных разностей или Монте-Карло) на основе поверхности локальной волатильности
5. Оцениваем экзотику, эволюционируя базовый актив через ландшафт локальной волатильности

Гарантия: любая экзотика, оценённая по локальной волатильности, согласована со всеми наблюдаемыми ценами европейских опционов. Цена вашего барьерного опциона не противоречит ванильным, что важно для хеджирования.

Греки, согласованные с поверхностью

Греки, рассчитанные по локальной волатильности, учитывают тот факт, что волатильность меняется при движении спота. Дельта по локальной волатильности отличается от дельты Блэка-Шоулза, потому что модель «знает», что переход на другой уровень спота означает другую локальную волатильность. Концептуально это похоже на то, что Талеб называет «теневой гаммой»: дополнительное изменение дельты, возникающее из-за изменения волатильности вследствие движения спота.

Проблема динамики

У локальной волатильности есть один хорошо известный недостаток: она предсказывает неверную динамику улыбки.

По локальной волатильности волатильность является детерминированной функцией спота. Как только вы знаете, где находится спот, вы точно знаете, какова волатильность. В волатильности нет «неожиданности». Это означает:

• Когда спот падает, локальная волатильность утверждает, что волатильность всегда должна была быть настолько высокой при этой цене. Улыбка выравнивается.
• На практике при падении спота волатильность часто возрастает сильнее, чем предсказывает локальная волатильность, и улыбка становится круче.

Результат: локальная волатильность систематически недооценивает опционы, зависящие от будущей формы улыбки (барьерные опционы, опционы с отложенным стартом, кликеты).

Локальная волатильность vs. другие модели

	Локальная волатильность	SVI	SABR
Что это	Мгновенная волатильность в каждой точке (S, t)	Параметрическая форма улыбки	Модель стохастической волатильности
Наблюдаема?	Нет (выводится)	Нет (подгоняется)	Нет (подгоняется)
Точная калибровка	Да (по построению)	Приближённая	Приближённая
Динамика улыбки	Неверная (детерминированная)	Не задана	Лучше (стохастическая)
Ценообразование экзотики	Да (основное применение)	Нет	Ограниченно
Скорость	Медленная (PDE/MC)	Быстрая	Быстрая (формула)
Лучше всего для	Барьеры, азиатские, экзотика	Ценообразование ванили, риск	Свопционы, FX-ваниль

Связь с другими моделями

От подразумеваемой волатильности к локальной: формула Дюпира. Требует на входе безарбитражную поверхность подразумеваемой волатильности.

От локальной волатильности к подразумеваемой: запускаем прямое PDE по поверхности локальной волатильности, оцениваем европейские опционы, инвертируем для получения подразумеваемых волатильностей. Этот замкнутый цикл точен по построению.

SABR и локальная волатильность: параметр $\beta$ в SABR управляет «хребтом» локальной волатильности ($\sigma_{\text{loc}} \sim F^\beta$), тогда как $\nu$ добавляет стохастический слой поверх. SABR можно рассматривать как параметрическое приближение локальной волатильности с дополнительной динамикой.

SVI и локальная волатильность: SVI даёт вам поверхность подразумеваемой волатильности. Затем Дюпир даёт локальную волатильность. Цепочка: рыночные котировки -> подгонка SVI -> поверхность подразумеваемой волатильности -> Дюпир -> локальная волатильность -> движок ценообразования экзотики.

Построение математической интуиции

Изучите локальную волатильность с нуляИнтерактивный урок · разбирает формулу Дюпира

Интерактивный урок выше раскрывает модель локальной волатильности Дюпира с самых основ: почему подразумеваемая волатильность является взвешенным по траектории средним локальных волатильностей, как формула Дюпира извлекает локальную волатильность из наблюдаемых цен, связь между улыбкой подразумеваемой волатильности и поверхностью локальной волатильности, и почему локальная волатильность важна для ценообразования путезависимой экзотики.

Реализации с открытым исходным кодом

Репозиторий	Зачем изучать
QuantLib	Локальная волатильность Дюпира с движком ценообразования на конечных разностях
OpenGamma Strata	Построение поверхности локальной волатильности из рыночных данных
RustQuant	Ценообразование по локальной волатильности на Rust

---

См. также:

• Параметризация SVI — модель, используемая для построения поверхности подразумеваемой волатильности
• Модель SABR — альтернатива на основе стохастической волатильности
• Методы интерполяции — сравнение всех методов
• Как строятся поверхности — полный процесс