Скачкообразная диффузия Kou с нуля
1/5Скачки Мертона слишком симметричны
Merton использует логнормальные скачки. Распределение размера скачков — единственная колоколообразная кривая, где-то центрированная. Скачки вверх и вниз берутся из одного семейства. Это проблема.
Реальные обвалы резче, чем ралли. Depeg стейблкоина не выглядит как зеркальное отражение short squeeze. Разрыв -20% происходит за один блок. Ралли +20% занимает неделю. Вам нужна модель, где левый и правый хвосты управляются раздельно.
Kou (2002) исправляет это, заменяя логнормальное распределение скачков на двойное экспоненциальное. Скачки вверх затухают с одной скоростью. Скачки вниз затухают с другой. Две отдельные ручки для двух отдельных хвостов.
In Merton: ln(J) ~ Normal(μJ, σJ²).
В Kou: размер скачка Y = ln(J) следует двойному экспоненциальному распределению с отдельными скоростями затухания для положительных и отрицательных значений.
Практическое следствие: в Merton, когда вы делаете левое крыло улыбки круче (делая μJ более отрицательным), вы также тянете за собой правое крыло. Нормальное распределение симметрично относительно своего среднего. Kou полностью развязывает крылья.
Двойная экспонента
Размер скачка Y имеет плотность, составленную из двух экспоненциальных половин, состыкованных в нуле. Каждая половина затухает со своей скоростью. Это ключевое нововведение.
f(y) = (1−p)·η₂·eη₂y for y < 0 (down-jumps)
η₂ управляет затуханием скачков вниз. Малое η₂ означает, что скачки вниз могут быть большими (толстый левый хвост). Средний скачок вниз = 1/η₂.
p — это вероятность того, что данный скачок направлен вверх.
Подвигайте параметры ниже и посмотрите, как меняется плотность. Ключевой эксперимент: задайте η₁ намного больше, чем η₂. Правый хвост (скачки вверх) становится тонким и сосредоточенным около нуля, тогда как левый хвост (скачки вниз) простирается далеко. Это и есть форма риска обвала.
Три эксперимента для проверки:
1. Задайте η₁ = η₂ = 5, p = 0.5. Плотность симметрична. Оба хвоста идентичны. Это по духу эквивалентно Merton с нулевым средним скачком.
2. Задайте η₁ = 10, η₂ = 2, p = 0.3. Толстый левый хвост, тонкий правый хвост, большинство скачков идут вниз. Классический режим обвала.
3. Выкрутите p к 0.9. Большинство скачков идут вверх, но те скачки вниз, что всё же случаются, по-прежнему управляются η₂ независимо.
Почему асимметричные скачки важны
Отношение η₁ к η₂ вместе с параметром p контролируют скью улыбки подразумеваемой волатильности. Что особенно важно, они управляют каждым крылом независимо.
Рассмотрим криптотокен. Обвал при депеге резкий и глубокий — это означает малое η₂ (тяжёлый левый хвост). Обычное движение цены вверх идёт постепенно — это означает большое η₁ (тонкий правый хвост). Получившаяся улыбка имеет крутое пут-крыло и пологое колл-крыло. Именно то, что вы видите на рынке.
В обозревателе ниже посмотрите, как изменение η₂ по отдельности делает левое крыло круче, не двигая правое крыло. Затем попробуйте изменить η₁ — оно независимо делает круче правое крыло. В этом практическое преимущество модели Kou: вы подгоняете каждое крыло к рынку по отдельности.
Почему p важен для скью: если p = 0.3 (большинство скачков направлены вниз), левое крыло раздувается, потому что OTM-путы видят устойчивый поток риска скачков вниз. Правое крыло спокойнее — туда попадает меньше скачков.
Почему отношение η важно для скью: даже при p = 0.5 (равная вероятность скачков), если η₂ намного меньше, чем η₁, скачки вниз в среднем гораздо больше. Это поднимает пут-крыло, потому что то же число скачков вниз покрывает больше пространства на каждый скачок.
Преимущество замкнутой формы
Экспоненциальное распределение обладает особым свойством: оно без памяти. Если вы знаете, что скачок превышает некоторый барьер x, превышение (скачок − x) имеет ровно то же распределение, что и новый скачок. Именно это даёт модели Kou замкнутые формулы для цен барьерных опционов.
Подумайте, что нужно барьерному опциону: вам нужно знать распределение того, где окажется цена после того, как она пересечёт барьер. При гауссовых скачках (Merton) распределение превышения — это неразбериха: оно зависит от того, насколько далеко за барьер вы ушли. При экспоненциальных скачках превышение не имеет памяти: условное распределение при условии пересечения барьера совпадает с безусловным распределением. Это делает математику решаемой.
Результат: Kou (2004) вывел решения в замкнутой форме для барьеров knock-in/knock-out, lookback-опционов и бессрочных американских опционов. У Merton таких формул нет. Если вы оцениваете экзотику и нуждаетесь в аналитических греках, Kou выигрывает.
Левая панель показывает полную экспоненциальную плотность с отмеченным порогом x. Заштрихованная область — это вероятность превышения x. Правая панель показывает условную плотность превышения (Y − x), given Y > x. Подвигайте порог: условная плотность всегда имеет ту же форму, что и исходная. Это и есть свойство отсутствия памяти.
Подвигайте η и обратите внимание, что обе панели масштабируются одинаково. Форма превышения никогда не зависит от того, где вы установили порог. Для расчёта барьерных опционов это означает, что распределение превышения на барьере известно аналитически — симуляция не нужна.
Kou против Merton против Heston
У каждой модели своя роль. Понимание того, где Kou располагается относительно Merton и Heston, — заключительный элемент.
Kou: асимметричные скачки, независимое управление крыльями, замкнутые формулы для экзотики. Лучше всего подходит для рынков с выраженной асимметрией обвалов (крипта, отдельные акции) и когда вам нужны аналитические цены барьерных или лукбэк-опционов.
Merton: проще, симметричные скачки. Меньше параметров. Достаточно хорош, когда улыбка примерно симметрична или когда вы оцениваете только ванильные опционы. Отраслевая отправная точка для моделей со скачками.
Heston: стохастическая волатильность, без скачков. Генерирует скью через корреляцию волатильности и спота (ρ). Доминирует на длинных сроках, где vol-of-vol управляет временной структурой. Не может воспроизвести крутизну крыльев на коротких сроках, которую создают скачки.
На графике выше наложены улыбки Kou и Merton с одинаковой суммарной дисперсией скачков. Обе модели добавляют одинаковое количество риска скачков в совокупности, но Kou направляет больше его в левый хвост. Обратите внимание, как левое крыло Kou толще (более крутое пут-крыло), а правое крыло тоньше. Merton распределяет риск более равномерно.
Black-Scholes: плоская улыбка. Ни скью, ни крыльев.
Merton: улыбка с крыльями. Симметричное распределение скачков означает, что оба крыла движутся вместе. Хорошо подходит для коротких ванильных опционов.
Kou: улыбка с независимыми крыльями. Асимметричное распределение скачков. Замкнутые формы для барьерных и lookback-опционов. Лучше подходит для крипты.
Heston: улыбка из стохастической волатильности. Сохраняется на длинных сроках. Скачков нет, поэтому крылья на коротких сроках слишком плоские.
Bates: Heston + скачки Merton. Рабочая лошадка. Для самых требовательных задач замените скачковую компоненту Merton на двойные экспоненциальные скачки в стиле Kou.
Куда двигаться дальше:
Скачкообразная диффузия Merton — предшественник с симметричными скачками
Variance Gamma — чисто скачковая модель вообще без диффузии
Модель Heston — стохастическая волатильность, без скачков
Модель Bates — Heston + скачки: отраслевая рабочая лошадка