Модель Коу с двойным экспоненциальным распределением скачков

Мертон моделирует скачки одним нормальным распределением — скачки вверх и вниз имеют одинаковую форму. Это неверно. Обвалы резче, чем ралли. Гэп в -20% случается за минуты; ралли на +20% занимает недели. Коу (2002) исправляет это, задавая скачкам вверх и вниз разные размеры.

Механизм: экспоненциальные распределения вместо нормального. Скачки вниз получают одно экспоненциальное распределение (обычно с большим средним), скачки вверх — другое (обычно с меньшим средним). Можно сделать крыло путов круче, не трогая крыло коллов, и наоборот.

💡

У каждого крыла свой параметр

В модели Мертона увеличение крутизны крыла путов (через отрицательное среднее скачка) затрагивает и крыло коллов. В модели Коу каждое крыло независимо. Размер скачка вниз делает круче крыло путов. Размер скачка вверх — крыло коллов. Это соответствует улыбкам на крипторынке.

Исследуйте параметры

Включите переключатель "Show Merton equiv", чтобы увидеть, как симметричная модель (Мертона) сравнивается с асимметричными крыльями Коу. Попробуйте пресет "Crypto crashes", чтобы увидеть крутое крыло путов при пологом крыле коллов.

Исследователь двойной экспоненциальной улыбки Коу

Доминируют скачки вниз: 70% скачков направлены вниз и в 4x крупнее скачков вверх. Крутое крыло путов.

Частота скачков2.00

Ожидаемое число скачков в год. 0 = плоская (BS).

Вероятность скачка вверх0.30

Доля скачков вверх. Низкая = уклон в сторону обвалов.

Размер скачка вверх0.05

Средняя величина скачка вверх (напр. 0.08 = 8%)

Размер скачка вниз0.20

Средняя величина скачка вниз (напр. 0.15 = 15%)

Включите «Показать эквивалент Мертона», чтобы сравнить асимметричные (Коу) и симметричные (Мертон) скачки. Обратите внимание: Коу может независимо делать круче одно крыло.

Что делает каждый параметр

• Частота скачков (лямбда): сколько скачков в год. Ноль = Блэк-Шоулз (плоская улыбка). Более высокая лямбда поднимает оба крыла, потому что любой скачок — вверх или вниз — делает опционы OTM более ценными.
• Вероятность скачка вверх (p): какая доля скачков направлена вверх. Низкое p означает, что большинство скачков — обвалы. Это смещает баланс скью.
• Размер скачка вверх: средняя величина гэпов вверх. Чем больше, тем круче крыло коллов.
• Размер скачка вниз: средняя величина гэпов вниз. Чем больше, тем круче крыло путов. В крипте он обычно в 2–4 раза больше размера скачка вверх.

Как модель Коу формирует крылья

Изменение параметра

Эффект на крыло путов

Эффект на крыло коллов

Интуиция

Увеличить размер скачка вниз

Становится круче

Минимальные изменения

Более крупные обвалы = более дорогая защита путами

Увеличить размер скачка вверх

Минимальные изменения

Становится круче

Более крупные ралли = более дорогое крыло коллов

Уменьшить вероятность скачка вверх

Становится круче

Выполаживается

Больше скачков направлено вниз = уклон в сторону обвала

Увеличить частоту скачков

Поднимается

Поднимается

Больше событий в целом = больше хвостового риска в обе стороны

ℹ️

Независимое управление крыльями

В модели Мертона увеличение крутизны крыла путов через отрицательное среднее скачка также влияет на крыло коллов (нормальное распределение симметрично относительно среднего). В модели Коу размер скачка вниз управляет крылом путов, а размер скачка вверх — крылом коллов. Включите "Show Merton equiv", чтобы увидеть разницу.

Коу против Мертона

Коу

Мертон

Распределение скачков

Двойное экспоненциальное (асимметричное)

Нормальное (симметричное относительно среднего)

Независимость крыльев

Крылья путов и коллов управляются раздельно

Изменение скью влияет на оба крыла

Затухание хвостов

Экспоненциальные хвосты (тяжелее нормальных)

Гауссовские хвосты (тоньше)

Параметры

5 (σ, λ, p, η₁, η₂)

4 (σ, λ, μ_J, σ_J)

Оценка барьерных/лукбэк-опционов

Есть замкнутая форма

Нет замкнутой формы (нужен Монте-Карло)

Соответствие крипторынку

Лучше (асимметричные крылья соответствуют реальности)

Приемлемо (но не даёт независимости крыльев)

Почему это важно для криптотрейдеров

Гэп-риск в крипте глубоко асимметричен:

Тип события

Типичный размер

Скорость

Параметр Коу

Каскад ликвидаций

от -10% до -30%

Минуты

Размер скачка вниз (большой)

Гэп из-за сбоя биржи

В любую сторону, от -20% до +10%

Мгновенно

Оба размера скачков + вероятность

Ралли на одобрении ETF

от +5% до +15%

Часы

Размер скачка вверх (умеренный)

Депег стейблкоина

от -5% до -50%

Блоки

Размер скачка вниз (очень большой)

Обратите внимание на закономерность: движения вниз быстрее и крупнее движений вверх. Модель Мертона не может чисто уловить эту асимметрию — можно сместить среднее в отрицательную область, но симметрия нормального распределения вокруг этого среднего всё равно «перетекает» в крыло коллов. Двойное экспоненциальное распределение Коу естественным образом разделяет обе стороны.

💡

Модель скачков для независимой подгонки крыльев

Модель Коу разделяет крылья путов и коллов. Размер скачка вниз — параметр обвала. Размер скачка вверх — параметр ралли. Они не мешают друг другу. Если вы торгуете путами и коллами OTM как отдельными книгами — а в крипте так и следует делать — модель Коу соответствует этой структуре.

Обозреватель уравнений

Исследователь формул

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Подразумеваемая вол. (σ)

%

Подразумеваемая волатильность

Время до экспирации

дн.

Календарные дни до экспирации

Полная дисперсия (w)

0.022225

Годовая дисперсия (σ²)

0.2704

IV (обратный пересчёт)

52.00%

Полная дисперсия — это то, что калибруют SVI и другие модели. Она растёт со временем: волатильность 50% на 30 дней даёт меньшую полную дисперсию, чем 50% на 90 дней.

---

Проверьте свое понимание перед тем, как продолжить.

Q: В чём ключевое преимущество модели Коу над моделью Мертона при подгонке улыбок волатильности?

Q: Почему экспоненциальные хвосты более реалистичны, чем гауссовские, для размеров скачков в крипте?

Q: Если увеличить размер скачка вниз с 10% до 25%, что произойдёт с крылом коллов?

Q: Какое практическое преимущество имеет модель Коу над моделью Мертона при оценке экзотических опционов?

💡 Совет: Попробуйте ответить на каждый вопрос самостоятельно, прежде чем открывать ответ.

Формирование математической интуиции

Изучить модель Коу с нуляИнтерактивный урок · без предварительных знаний

Этот урок объясняет модель как два раздельных механизма скачков вверх и вниз, затем разбирает интуицию двойного экспоненциального распределения и почему оно даёт более чистое управление крыльями, чем модель Мертона.

---

См. также:

• Модель Мертона — предшественница с симметричными скачками
• Модель Бейтса — сочетает стохастическую волатильность со скачками Мертона
• Variance Gamma — чисто скачковая модель без диффузии
• Модель Хестона — стохастическая волатильность (другой способ получить улыбку)
• Скью — почему улыбка наклонена
• Блэк-Шоулз — базовая модель без скачков
• Методы интерполяции — сравнение всех методов