Методы интерполяции поверхностей волатильности

к сведению

Эта страница дополняет материал Как строятся поверхности волатильности. Начните с него, чтобы понять, почему интерполяция важна.

В поверхности волатильности есть пробелы. Интерполяция их заполняет. От выбора метода зависит, будет ли итоговая поверхность гладкой, свободной от арбитража и стабильной. На этой странице сравниваются основные подходы.

Сравнение методов интерполяции

Белые точки - единственные реальные рыночные котировки. Все промежуточные значения оценочные. Нажмите на каждый метод, чтобы увидеть его сильные и слабые стороны.

Что может пойти не так

Прежде чем разбирать каждый метод, посмотрите на проблемы своими глазами. Одни и те же 7 рыночных наблюдений, три разных метода интерполяции. Обратите внимание, что происходит на крыльях и в точках данных.

Что идёт не так: сбои интерполяции

Те же 7 рыночных наблюдений, три разных метода интерполяции. Посмотрите, что происходит на крыльях.

Гладкие полиномиальные кривые. Могут осциллировать и давать выбросы на крыльях.

Белые точки — единственные реальные наблюдения. Нажмите «Сравнить все», чтобы наложить все три метода. Обратите внимание, как сплайн даёт выброс на левом крыле, тогда как SVI остаётся в границах.

---

Непараметрические методы

Эти методы проводят кривые через точки данных без предположений о функциональной форме. Они быстрые и простые, но не дают никаких структурных гарантий.

Линейная интерполяция

Соединяем соседние точки данных прямыми отрезками.

Преимущества:

• Тривиальна в реализации
• Не требует подгонки и оптимизации
• Детерминирована: одни и те же входные данные всегда дают одинаковый результат

Недостатки:

• Создаёт острые изломы в каждой точке данных. Эти изломы дают разрывные первые производные, а значит, греки (особенно гамма) резко скачут на наблюдаемых страйках.
• Нет гарантий против баттерфляй-арбитража. Прямая линия между двумя точками может провалиться ниже уровня, где должна проходить выпуклая улыбка.
• Экстраполяция — чистая спекуляция (просто продолжает наклон последнего сегмента).

Подходит для: быстрых оценок, проверок на адекватность, отладки. Не для боевого ценообразования.

Интерполяция кубическими сплайнами

Между точками данных подгоняются кусочные кубические полиномы с условием совпадения первых и вторых производных в каждом узле. В результате получается $C^2$-гладкая кривая (непрерывная кривизна).

Название происходит от физических чертёжных сплайнов: гибких деревянных реек, которые чертёжники изгибали через штыри, чтобы проводить плавные кривые.

Преимущества:

• Гладкая кривая через все точки данных
• Не требует оценки параметров (сплайн полностью определяется данными и граничными условиями)
• Быстро вычисляется

Недостатки:

• Феномен Рунге: на краях области интерполяции полином может резко «выстреливать». Для поверхностей волатильности это означает, что IV на крыльях улетает вверх или уходит в отрицательную область.
• Осцилляции: между точками данных кубическая кривая может уходить выше или ниже того, что дала бы корректная улыбка, создавая вогнутые провалы (баттерфляй-арбитраж).
• Чувствительность к выбросам: одна плохая точка данных (устаревшая котировка, «толстый палец») искажает всю кривую, потому что условия гладкости распространяют ошибку дальше.
• Никакого контроля над поведением экстраполяции.

Подходит для: визуализации, академической работы или как начальное приближение перед параметрической подгонкой. Не для боевого ценообразования и риск-менеджмента.

---

Параметрические методы

Эти методы предполагают определённую функциональную форму улыбки и подгоняют её параметры под данные. Они жертвуют точной интерполяцией ради структурного контроля.

SVI (Stochastic Volatility Inspired)

Индустриальный стандарт для поверхностей волатильности в крипте и на рынке акций. Пять параметров на срез по каждой экспирации.

$$w(k) = a + b \left( \rho(k - m) + \sqrt{(k - m)^2 + \sigma^2} \right)$$

Полный справочник: Параметризация SVI

Почему она доминирует: SVI — золотая середина между гибкостью и экономностью. Пять параметров позволяют подогнать практически любую наблюдаемую форму улыбки, а простые ограничения-неравенства гарантируют отсутствие баттерфляй-арбитража. Крылья стремятся к линейным асимптотам, поэтому экстраполяция ограничена и разумна.

SABR (Stochastic Alpha Beta Rho)

Модель стохастической волатильности, которая выводит улыбку из предположений о том, как эволюционирует волатильность. Четыре параметра: $\alpha$ (уровень волатильности), $\beta$ (показатель CEV), $\rho$ (корреляция спота и волатильности), $\nu$ (волатильность волатильности).

Полный справочник: Модель SABR

Зачем она нужна: SABR описывает динамику улыбки, а не только её статическую форму. Она подсказывает, как улыбка должна двигаться при движении базового актива (по умолчанию — sticky delta). Это делает её естественным выбором для свопционов на процентные ставки, где динамика улыбки важна для хеджирования.

Локальная волатильность (Дюпира)

Это не метод подгонки в обычном смысле. Локальная волатильность выводит поверхность мгновенной волатильности из наблюдаемой поверхности подразумеваемой волатильности. Она отвечает на вопрос: «Какой должна быть мгновенная волатильность в каждой комбинации (спот, время), чтобы точно воспроизвести эти цены опционов?»

Полный справочник: Локальная волатильность

Зачем она нужна: локальная волатильность — единственная свободная от арбитража модель, которая точно воспроизводит все наблюдаемые цены опционов. Это мост между подразумеваемой волатильностью и движком ценообразования, способным работать с выплатами, зависящими от траектории.

SSVI (Surface SVI)

Расширение SVI, моделирующее всю поверхность целиком, а не срез за срезом. SSVI по построению исключает календарный арбитраж: полная дисперсия гарантированно растёт со сроком до экспирации на каждом страйке.

$$w(k, \theta_t) = \frac{\theta_t}{2} \left( 1 + \rho \, \varphi(\theta_t) \, k + \sqrt{(\varphi(\theta_t) \, k + \rho)^2 + (1 - \rho^2)} \right)$$

Где $\theta_t$ — полная дисперсия ATM в момент времени $t$, а $\varphi(\theta_t)$ управляет тем, как скью эволюционирует со сроком.

Компромисс: меньше свободных параметров, чем у SVI по срезам (форма улыбки связана между экспирациями), поэтому подгонка на отдельных срезах может быть чуть хуже. Зато никогда не понадобятся ретроспективные правки календарного арбитража.

---

Сравнительная таблица

Метод

Параметры

Без арбитража?

Экстраполяция

Скорость

Лучше всего для

Линейная

0

Нет

Не ограничена

Мгновенно

Отладка

Кубический сплайн

~12 (неявно)

Нет

Осциллирует

Быстро

Визуализация

SVI

5 на срез

Да (с ограничениями)

Ограниченная линейная

Быстро

Крипта / акции

SABR

4

В основном

Разумная

Средне

Ставки / свопционы

Локальная волатильность

Полная сетка

По построению

Н/Д (производная)

Медленно

Ценообразование экзотики

SSVI

~6 (поверхность)

Да (включая календарный)

Ограничена

Быстро

Согласованность всей поверхности

Как выбрать

• Для боевого ценообразования в крипте/акциях: SVI или SSVI. Индустрия сошлась на этом не случайно.
• Для опционов на процентные ставки: SABR. Он описывает динамику улыбки, важную для хеджирования свопционов.
• Для ценообразования экзотических деривативов: локальная волатильность (или гибрид со стохастической локальной волатильностью). Нужна вся поверхность, а не только срезы.
• Для быстрого анализа или визуализации: кубический сплайн вполне подходит, если вы не торгуете по нему.
• Ни для чего: линейная интерполяция в продакшене. Серьёзно.

---

Исследователь уравнений

Все методы интерполяции работают с полной дисперсией и лог-монейностью. Используйте этот калькулятор для конвертации между представлениями.

Исследователь формул

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Подразумеваемая вол. (σ)

%

Подразумеваемая волатильность

Время до экспирации

дн.

Календарные дни до экспирации

Полная дисперсия (w)

0.022225

Годовая дисперсия (σ²)

0.2704

IV (обратный пересчёт)

52.00%

Полная дисперсия — это то, что калибруют SVI и другие модели. Она растёт со временем: волатильность 50% на 30 дней даёт меньшую полную дисперсию, чем 50% на 90 дней.

---

См. также:

• Как строятся поверхности волатильности — полный пайплайн
• Параметризация SVI — подробный разбор SVI
• Модель SABR — подробный разбор SABR
• Локальная волатильность — подробный разбор модели Дюпира