Heston с нуля
1/5Дисперсия живёт своей жизнью
Блэк-Шоулз рассматривает волатильность как фиксированное число, проштампованное на контракте. Оно никогда не меняется. Мир, очевидно, устроен иначе. Хестон исправляет это, задавая для дисперсии собственное стохастическое дифференциальное уравнение.
В Блэке-Шоулзе цена спота следует одному SDE с постоянной σ. Каждый опцион, каждый страйк, каждая экспирация используют одну и ту же волатильность. Модель внутренне непротиворечива, но неверна: рынок котирует разную σ для каждого страйка. Это и есть улыбка, а BS не может её воспроизвести.
Представьте спот как автомобиль, а дисперсию -- как дорожное покрытие. В BS дорога везде -- идеально гладкий асфальт. У Хестона само покрытие меняется: то гравий, то лёд, то свежий асфальт. Автомобиль реагирует на то покрытие, по которому едет. Чем ухабистее дорога, тем сильнее трясёт.
Хестон говорит: спот движется как в BS, но с переменной √v вместо постоянной σ. А дисперсия следует собственному процессу с возвратом к среднему типа квадратного корня:
Вторая строка: у дисперсии есть собственный дрейф (притягивающий к θ) и собственный шум (масштабируемый через σ).
Третья строка: два броуновских движения коррелированы. Именно это движок, стоящий за скью.
Второе уравнение — это процесс CIR (Cox-Ingersoll-Ross), тот же самый, что используется для процентных ставок. У него есть встроенный порог: √член диффузии v сжимается по мере приближения v к нулю, что не даёт дисперсии стать отрицательной (при подходящих условиях).
Итог: волатильность может резко расти, затухать, кластеризоваться и двигаться вместе со спотом. Все эти паттерны наблюдаются на реальных рынках. BS не воспроизводит ни один из них. Хестон -- воспроизводит.
Пять параметров
У Хестона ровно пять свободных параметров. Каждый рассказывает отдельную историю о поведении рынка. Научитесь читать их, как приборную панель.
κ (kappa) — скорость возврата к среднему. Насколько сильно дисперсия притягивается обратно к своему долгосрочному уровню. Высокая κ означает, что всплески волатильности недолговечны: процесс быстро возвращается назад. Низкая κ означает, что режимы волатильности сохраняются. В криптеκ обычно низкая — волатильность остаётся повышенной после шока.
θ (theta) — долгосрочная дисперсия. Уровень, к которому дисперсия тяготеет со временем. Если взять √θ, вы получите примерно долгосрочную ATM-волатильность. Для BTC это обычно где-то в районе 50-70% годовых.
σ (sigma) — волатильность волатильности. Насколько хаотичен сам процесс дисперсии. Когда σ = 0, улыбки нет вовсе — вы возвращаетесь в мир детерминированной волатильности. По мере роста σ оба крыла улыбки приподнимаются. Думайте об этом так: больше случайности в дисперсии = более толстые хвосты = более дорогие OTM-опционы.
ρ (rho) — корреляция спот-волатильность. Направленная связь между движениями спота и движениями волатильности. Отрицательная ρ означает: спот вниз, волатильность вверх. Это самый важный параметр для скью. Мы подробно разбираем его в следующем разделе.
v₀ — начальная дисперсия. Где дисперсия находится прямо сейчас. Если v₀ выше θ, краткосрочные опционы закладывают текущий стресс, а долгосрочные склоняются обратно к норме. После всплеска волатильности v₀ >θ и временная структура инвертируется.
Подвигайте ползунки выше. Сосредоточьтесь на одном параметре за раз. Главный вывод: ρ наклоняет улыбку влево или вправо. σ расширяет её. κ/θ/v₀ задают уровень и временную структуру.
Как корреляция создаёт скью
Это ключевая математическая идея Хестона. Отрицательная ρ означает, что при падении спота дисперсия обычно растёт. Одна эта зависимость порождает весь скошенный влево смайл, который вы видите на фондовых и криптовалютных рынках.
Вот механизм, шаг за шагом:
1. Спот падает (dW₁ отрицательный).
2. Поскольку ρ < 0, dW₂ как правило, положительна.
3. Положительный dW₂ толкает дисперсию вверх.
4. Более высокая дисперсия означает, что базовый актив теперь более волатилен.
5. OTM-путы (низкие страйки) с большей вероятностью окажутся в деньгах.
6. Рынок оценивает их дороже. Левое крыло улыбки поднимается.
Верно и обратное: спот вверх -- волатильность вниз. Опционы на стороне коллов теряют часть премии за волатильность. Поэтому правое крыло обычно более пологое, чем левое.
Переключайтесь между тремя пресетами выше. Разница впечатляет:
ρ = −0.7: Сильный левый скью. Именно так выглядят фондовые и крипторынки. Защита от снижения стоит дорого, потому что волатильность резко растёт при падении рынка.
ρ = 0: Симметричная улыбка. Нет направленного предпочтения между спотом и волатильностью. Вы получаете чистую кривизну от vol-of-vol, но без наклона.
ρ = +0.3: Правый скью. Опционы на рост относительно дороги. На практике это редкость, но встречается на товарных рынках, где шоки предложения одновременно толкают вверх и цену, и неопределённость.
ρ напрямую соответствует ванна-экспозиции. Ванна — это чувствительность дельты к изменениям волатильности. Когдаρ сильно отрицательна, OTM-путы имеют большую положительную ванну: их дельта становится более отрицательной по мере роста волатильности. Именно поэтому короткие позиции по путам становятся опаснее при распродаже — они в шорте по ванне.
Характеристическая функция
Большинство моделей стохастической волатильности требуют симуляции Монте-Карло для расчёта цен. У Хестона есть трюк: опционы можно оценивать через обратное преобразование Фурье известной характеристической функции. Симуляция не нужна.
Стандартная формула цены колл-опциона Black-Scholes имеет вид C = S·N(d₁) − K·e−rTN(d₂). Heston имеет аналогичную структуру:
Ключевой объект — это характеристическая функция φ(u). Она кодирует всё о вероятностном распределении логарифма спот-цены на экспирации. Считайте её отпечатком распределения в частотном пространстве.
Почему это работает? Три шага:
1. Производящая функция моментов. Поскольку SDE Heston аффинно (линейно по переменным состояния), его производящую функцию моментов можно решить аналитически. Это та математическая случайность, которая делает Heston особенным.
2. Характеристическая функция = MGF на мнимой оси. Характеристическая функция — это φ(u) = E[eiu·X] where X = ln(ST). Как только у вас есть MGF, у вас есть φ.
3. Обращение для плотности, интегрирование для цены. Стандартное обращение Фурье восстанавливает риск-нейтральную плотность из φ. Интегрирование этой плотности с выплатой даёт цену опциона. Интеграл одномерный и сходится за микросекунды.
Итог: полный смайл рассчитывается за миллисекунды, а не за минуты. Это делает калибровку реализуемой. Можно подогнать пять параметров под наблюдаемый смайл, вычисляя этот интеграл тысячи раз внутри оптимизатора.
До Хестона (1993) модели стохастической волатильности существовали, но были непрактичны -- приходилось симулировать траектории, чтобы оценить один опцион. Характеристическая функция Хестона сделала стохастическую волатильность применимой на торговом деске. Каждая последующая модель (Bates, двойной Heston, rough Bergomi) старается сохранить или аппроксимировать эту структуру фурье-ценообразования.
Где Хестон даёт сбой
Хестон элегантен, но у него есть реальные ограничения. Процесс дисперсии может касаться нуля, форма смайла слишком жёсткая для крипты, а задача подгонки пяти параметров -- минное поле локальных оптимумов.
Условие Феллера. Чтобы дисперсия оставалась строго положительной, необходимо:
На практике подобранные параметры Heston часто нарушают условие Феллера. Рынок хочет больше vol-of-vol (σ), чем допускает условие Феллера. При нарушении процесс дисперсии может коснуться нуля и должен быть «отражён» или «поглощён» — что создаёт численные сложности и делает модель менее надёжной в крыльях.
Увеличивайте σ и наблюдайте, как нарушается условие Феллера. Красные траектории достигают нуля. В реальном ценовом движке такие касания нуля требуют специальной обработки, которая замедляет расчёты и вносит малозаметные ошибки.
Криптоулыбки слишком крутые. Краткосрочные криптоопционы часто имеют крайне крутые скью и широкие крылья. CIR-процесс дисперсии Heston слишком гладкий, чтобы это уловить. Поведение крыльев модели стремится к постоянному наклону, но реальные криптокрылья круче. Именно поэтому криптодески используют SVI или SSVI для подгонки поверхности и рассматривайте Heston как концептуальный инструмент, а не как продакшн-движок для калибровки.
Подгонка по пяти параметрам нестабильна. Разные комбинации параметров могут давать практически идентичные улыбки. У оптимизатора несколько локальных минимумов. Ежедневные калибровки могут перескакивать между совершенно разными наборами параметров, при этом давая схожие цены. Это делает хеджирование ненадёжным, потому что греки зависят от того, в какой набор параметров вы попали.
Расширения, устраняющие эти проблемы:
Bates = Heston + скачки. Добавление скачковой компоненты к процессу спота даёт вам более толстые крылья на коротких сроках без необходимости в неразумных значениях σ. Интенсивность и размер скачков добавляют дополнительные параметры, но характеристическая функция всё равно имеет полузамкнутую форму.
Стохастическая локальная волатильность (SLV). Сочетает стохастическую дисперсию в стиле Heston с наложением локальной волатильности. Вы получаете точную калибровку под наблюдаемую поверхность (от локальной волатильности) плюс реалистичную динамику (от стохастической компоненты). Именно это на практике используют многие продакшн-дески.
Rough Bergomi. Заменяет гладкий процесс дисперсии CIR на фрактальное броуновское движение (параметр Хёрста H около 0.1). Траектории дисперсии становятся шероховатыми и изломанными, что гораздо лучше соответствует наблюдаемому поведению волатильности. Цена этого: отсутствие характеристической функции в замкнутой форме.
Что изучить дальше:
Параметризация SVI -- стандарт подгонки смайла для криптовалютных поверхностей волатильности
Модель SABR -- стохастическая волатильность без возврата к среднему, более простая подгонка
Rough Bergomi -- дробная стохастическая волатильность, шероховатые траектории
Методы интерполяции -- сравнение всех методов