Греки с нуля

1/6

Раздел 1

Что такое грек?

Цена опциона зависит от нескольких параметров: спот-цены, времени, волатильности, ставок. Грек показывает, насколько изменится цена опциона при небольшом изменении одного из этих параметров.

Если вы помните производные из матанализа — грек это частная производная. Если нет, думайте так: грек отвечает на вопрос «если я чуть сдвину один параметр, насколько отреагирует цена моего опциона?»

Вот и всё. Каждый грек соответствует сдвигу своего параметра. Дельта сдвигает спот. Тета сдвигает время. Вега сдвигает волатильность. Идея одна, ручка разная.

Ключевая идея

Greek = (change in option price) / (change in input)

Это просто наклон. Кривая цены опциона зависит от многих переменных. Каждый грек измеряет наклон в одном направлении при фиксированных остальных.

Интерактивный виджет ниже показывает кривую цены колла как функцию спота. Касательная в каждой точке имеет наклон. Этот наклон — дельта. Каждый грек устроен точно так же, только по другой оси.

Спот-цена$100

Цена колла: $10.13Дельта: 0.6174

Двигайте слайдер спота и следите, как поворачивается касательная. Глубоко в деньгах наклон стремится к 1. Далеко вне денег — к 0. На деньгах он около 0.5. Этот наклон касательной и есть дельта.

Раздел 2

Дельта

Дельта — первый грек, который все изучают, и тот, которым пользуются чаще всего. Для колла дельта лежит в диапазоне от 0 до 1. Она отвечает на вопрос: «на сколько долларов сдвинется мой опцион при движении базового актива на $1?»

В Блэке-Шоулзе дельта колла — это просто N(d₁) — кумулятивное нормальное распределение, вычисленное в d₁. Чем глубже в деньгах, тем ближе дельта к 1. Чем дальше вне денег, тем ближе к 0.

Дельта колла

Δ = N(d₁)

N() — это стандартная нормальная CDF. d₁ — та же формула из Блэка-Шоулза: ln(S/K) + (r + σ²/2)T всё делённое на σ√T.

Спот-цена$100

Цена колла: $10.13Дельта: 0.6174

Практическая интерпретация: дельта также даёт приблизительную вероятность того, что опцион окажется в деньгах на экспирации. Колл с дельтой 25 имеет примерно 25% шансов закончить ITM. Неточно, но для интуиции достаточно.

Коэффициент хеджирования: если вы продали колл, для дельта-нейтральности нужно купить базовый актив в объёме дельты. При дельте 0.50 — 0.50 единицы базового актива на каждый опцион. Спот движется, дельта меняется — вы корректируете позицию.

Раздел 3

Гамма

Гамма — это скорость изменения дельты. Если дельта показывает, где вы находитесь, гамма показывает, как быстро дельта меняется при движении спота.

Математически гамма — вторая производная цены опциона по споту. На практике она важна потому, что дельта-хеджирование — не разовое действие. Спот движется, дельта смещается, и приходится перехеджироваться. Гамма измеряет, насколько.

Гамма

Γ = N'(d₁) / (S · σ · √T)

N'() — плотность нормального распределения, та самая колоколообразная кривая. Гамма всегда положительна и у коллов, и у путов. Пик приходится на состояние на деньгах (ATM).

Спот-цена$100

Дельта: 0.6174Гамма: 0.02198

Двигайте слайдер и следите, как гамма (синяя) достигает пика прямо на страйке. Вдали от страйка дельта почти не меняется — опцион либо движется доллар к доллару со спотом (глубоко ITM), либо почти не реагирует (глубоко OTM). Возле страйка дельта меняется быстро, поэтому гамма высокая.

Почему гамма важна для PnL: гамма создаёт кривизну в графике цены. При движении спота на $2 дельта вносит Δ × $2, а гамма добавляет ещё ½ Γ × $2². Этот дополнительный член — гамма-P&L; именно поэтому длинные опционы обыгрывают свой дельта-хедж на крупных движениях.

Раздел 4

Тета

Тета — это временной распад. С каждым прошедшим днём опцион теряет часть стоимости, даже если больше ничего не меняется. Тета показывает, сколько именно.

Для длинных опционов тета отрицательна: вы ежедневно теряете стоимость. Для коротких — положительна: вы собираете «ренту». Это ключевой компромисс в опционах: вы платите тету за право зарабатывать гамму на больших движениях.

Тета (в день)

Θ = −[S · N'(d₁) · σ / (2√T) + r · K · e⁻ʳᵀ · N(d₂)] / 365

Две части: первая — временной распад волатильностной компоненты. Вторая — стоимость фондирования дисконтированного страйка. Обе уменьшают цену опциона с течением времени.

Дней до экспирации180d

Цена: $10.06Тета/день: -0.0260

Обратите внимание, как распад временной стоимости ускоряется ближе к экспирации. Кривая становится круче, потому что тета растёт по модулю по мере истечения времени.

Ключевая закономерность: тета ускоряется ближе к экспирации. Опцион ATM теряет в последнюю неделю больше стоимости в день, чем в любую предыдущую. Кривая резко становится круче — поэтому короткие опционы так любимы сборщиками теты и так опасны риском взрыва позиции.

Правило трейдера

Гамма и тета — две стороны одной медали. Если у вас длинная гамма (вы выигрываете на больших движениях), вы платите тету. Если вы собираете тету, у вас короткая гамма (большие движения бьют по вам). Бесплатных обедов не бывает.

Раздел 5

Вега

Вега измеряет, насколько меняется цена опциона при изменении подразумеваемой волатильности на 1 процентный пункт. Она всегда положительна и для коллов, и для путов: выше волатильность — выше цены опционов.

Вега на самом деле не греческая буква (буквы «вега» в греческом алфавите нет). Но название прижилось. Некоторые вместо неё используют ню (ν).

Вега (на 1% IV)

ν = S · N'(d₁) · √T / 100

Деление на 100 переводит чувствительность из расчёта на единицу волатильности в расчёт на процентный пункт. Больше времени до экспирации = больше вега, потому что у волатильности больше пространства, чтобы проявить себя.

Подразумеваемая волатильность25%

Цена: $10.13Вега: $0.2747/1% IV

Где вега важнее всего: максимальная вега у опционов ATM. Глубоко ITM или OTM опционы почти не реагируют на изменения волатильности — в них уже доминирует либо внутренняя стоимость, либо почти нулевая цена.

Практическое применение: если вы торгуете событие волатильности (отчётность, заседание FOMC), нужно знать свою вега-экспозицию. Вега $0.15 на 10 контрактах означает, что схлопывание IV на 1% обойдётся вам в $150.

Раздел 6

Собираем всё вместе

В реальной торговле всё движется одновременно: спот, время и волатильность. Греки позволяют разложить ваш PnL на составляющие: что дала дельта, что дала гамма, что вы потеряли на тете и что дала или забрала волатильность.

Разложение изменения цены опциона в ряд Тейлора выглядит так:

dC ≈ Δ·dS + ½Γ·dS² + Θ·dt + ν·dσ

Наведите курсор на любую часть формулы, чтобы увидеть её значение.

Двигайте слайдеры ниже и следите за вкладом каждого грека. Строка «остаток» показывает то, что упускает приближение первого порядка: оно мало на небольших движениях и растёт на больших.

Движение спота+2

Прошло дней1d

Изменение IV+0%

Атрибуция P&L

Дельта0.617 x $2+1.235

Гамма0.5 x 0.02198 x $2^2+0.044

Тета-0.0259 x 1d-0.026

Вега0.2747 x 0%+0.000

По грекам+1.253

Фактически+0.625

Остатокчлены высших порядков-0.628

На что обратить внимание: на малых движениях спота доминирует дельта. На больших включается гамма. Тета стабильна и предсказуема. Вега — джокер: она целиком зависит от того, как поведёт себя волатильность, а этого не предскажешь.

Именно так профессиональные дески ежедневно смотрят на PnL. Вопрос никогда не звучит просто «заработал я или потерял?» — он звучит «откуда взялся PnL?»