Смещённая диффузия с нуля
1/5Сместите начало координат — получите улыбку
Модель Блэка-Шоулза предполагает, что спот-цена диффундирует логнормально от текущего уровня. Смещённая диффузия меняет одно: она сдвигает начало координат. Диффузия остаётся логнормальной, но ось, на которой она живёт, сдвинулась.
СДУ предельно простое:
Это вся модель. Один дополнительный параметр d поверх стандартной BS. Коэффициент диффузии пропорционален (S + d), а не просто S. Этот сдвиг нарушает симметрию логнормальной улыбки и создаёт скью.
Почему сдвиг начала координат порождает скью? Потому что процентная волатильность смещённой переменной равна σ, а процентная волатильность самого S зависит от уровня. При низком S величина S + d относительно велика по сравнению с S, поэтому эффективная волатильность в процентах выше. При высоком S смещение d играет меньшую роль, и вы приближаетесь к случаю BS.
Представьте, что вы отсчитываете от другой нулевой точки. Вместо отсчёта от 0 вы измеряете от −d. Базовый актив не изменился, изменилась линейка. Одной смены системы отсчёта достаточно, чтобы улыбка наклонилась.
Параметр смещения
Смещение d — единственный доступный вам рычаг. Он задаёт направление и величину скью. Понять, что он делает, — значит понять всю модель.
d > 0 (положительное смещение): Начало координат сдвигается вправо. При заданной σ низкие цены получают большую эффективную волатильность (поскольку S + d велико относительно S), а высокие — меньшую. Результат: кривая подразумеваемой волатильности убывает слева направо. Это отрицательный скью — то же направление, что на рынках акций и криптоактивов.
d < 0 (отрицательное смещение): Начало координат сдвигается влево. Теперь высокие цены получают пропорционально больше волатильности. Результат: положительный скью. Это встречается редко, но может описывать рынки, где волатильность растёт вместе с ценой (например, некоторые сырьевые товары).
d = 0: Смещения нет. Вы снова в Блэке-Шоулзе. Плоская улыбка.
Подвигайте слайдер выше. Обратите внимание, как улыбка постепенно наклоняется при увеличении d. В улыбке смещённой диффузии нет кривизны — на крыльях она почти линейна. В этом фундаментальное ограничение: DD даёт наклон, но не U-образную форму, которую вы видите на реальных рынках.
Смещённая диффузия = сдвинутый Блэк-Шоулз
Вот практический вывод, который делает DD такой полезной: новая формула ценообразования не нужна. Вы применяете стандартный Блэк-Шоулз со сдвинутыми входными данными. Замените S на (S + d), а K на (K + d). Готово.
Логика проста. Определим S̃ = S + d. Тогда SDE становится dS̃ = σ·S̃·dW, что представляет собой обычное геометрическое броуновское движение для смещённой переменной. Стандартный BS применяется к S̃ со страйком K̃ = K + d.
Именно поэтому DD так быстро приняли дески ставок в эпоху отрицательных ставок. Им не понадобилось новое ПО. Они добавили сдвиг к входным данным и сохранили всю инфраструктуру Блэка-Шоулза. Сдвиг обычно калибровался раз в день по ATM-волатильности и одной дополнительной точке.
Греки тоже сдвигаются. Дельта — это BS-дельта сдвинутого опциона. Гамма — BS-гамма. Вега — BS-вега. Единственная тонкость: при расчёте хеджей чувствительности нужно привести обратно к исходным (несдвинутым) координатам.
Связь с CEV и SABR
Смещённая диффузия — это линеаризованная версия модели CEV. SABR с β = 1 и параметром сдвига — это приближённо смещённая диффузия. Понимание этой связи точно показывает, где DD находится в иерархии моделей.
CEV (постоянная эластичность дисперсии) использует dS = σ·Sᵝ·dW где β — это эластичность. Когда β = 1, это BS. Когда β < 1, волатильность выше при низких S и ниже при высоких S — то же качественное поведение, что и у DD.
Связь: разложение Тейлора первого порядка Sᵝ вокруг S = F даёт приблизительно (S + d) для определённого d, который зависит от β и F. Таким образом, DD — это линеаризованное приближение CEV вокруг форварда. Они дают почти идентичные улыбки вблизи ATM и расходятся в дальних крыльях.
Обратите внимание: две кривые совпадают около ATM, но расходятся на крыльях. DD даёт улыбку, почти линейную по страйку. CEV даёт кривизну, потому что степенной каркас изгибается. Для большинства практических задач в пределах нескольких страйков от ATM они взаимозаменяемы.
Связь с SABR: Модель SABR с β = 1 — это логнормальный SABR. Добавив сдвиг к форварду (shifted SABR), вы получаете SABR(β = 1) на смещённой переменной. В пределе нулевой волатильности волатильности (ν = 0) это в точности сводится к смещённой диффузии. Так что DD — вырожденный случай shifted SABR, простейший представитель этого семейства.
Вот почему DD называют простейшим способом добавить скью к BS. Вы получаете один дополнительный параметр, одно направление наклона и полную совместимость с существующей инфраструктурой BS. Если нужны кривизна, крылья или стохастическая динамика, переходите к CEV, SABR или Хестону.
Когда этого достаточно
DD — однопараметрическое расширение Блэка-Шоулза. Это одновременно её сила и её ограничение. Важно понимать, когда её использовать, а когда двигаться дальше.
Используйте DD, когда:
1. Вам нужна быстрая поправка на скью без полноценной модели. Прикинуть скью для обсуждения на деске, проверить на адекватность более сложную модель или оценить книгу ванильных опционов, где наклон важнее крыльев.
2. Ваш базовый актив может уходить в ноль или в минус (ставки, спреды). Смещение сохраняет сдвинутую переменную положительной, даже когда исходная пересекает ноль. Это канонический сценарий — дески ставок в эпоху отрицательных ставок жили на сдвинутой логнормали.
3. Вы хотите сохранить существующую инфраструктуру BS в неизменном виде. Никаких новых численных методов, Монте-Карло или обращения Фурье. Просто сдвиньте входные данные.
Переходите от DD дальше, когда:
1. Вам нужна кривизна улыбки. DD даёт почти линейный скью. На реальных рынках улыбки U-образные, с выпуклостью на обоих крыльях. DD этого не воспроизводит.
2. Вам нужна динамика улыбки. DD — статическая модель: смещение фиксировано. Она ничего не говорит о том, как улыбка движется при движении спота. Для динамического хеджирования нужны SABR, Хестон или SLV.
3. Вы оцениваете экзотические опционы. Опционам, зависящим от траектории, нужна модель, описывающая динамику волатильности, а не только моментальный снимок. У DD динамики волатильности нет.
Для крипторынка DD слишком проста. Крипто-улыбки крутые, изогнутые и динамичные. DD даст грубый первичный наклон, но любая продакшн-поверхность будет использовать SVI, SABR или более сложную модель.
Представьте иерархию моделей как лестницу: Блэк-Шоулз (плоская улыбка) → смещённая диффузия (наклонная улыбка) → CEV/SABR (изогнутая улыбка с динамикой) → Хестон/SLV (стохастическая волатильность с богатой структурой). Каждая ступень добавляет сложности, но и объяснительной силы. DD — первая ступень над BS. Её стоит знать, даже если вы никогда не используете её в продакшене: она учит, что скью в основе своей — это то, как волатильность масштабируется с уровнем базового актива.
Куда двигаться дальше:
Модель CEV — нелинейный родственник DD, с изогнутыми улыбками
Модель SABR — стохастическая волатильность поверх каркаса, промышленный стандарт
Параметризация SVI — прямая подгонка улыбки, стандарт для крипторынка