Смещённая диффузия

Смещённая диффузия (также известная как модель сдвинутой логнормальности) берёт модель Блэка-Шоулза и сдвигает ценовую ось. Вместо того чтобы моделировать форвардную цену $F$ напрямую, вы моделируете $F + d$ как логнормальную величину, где $d$ — это смещение. Это создаёт скью без какой-либо стохастической волатильности — всего лишь сдвиг координат.

💡

Сдвиг координат создаёт скью

Отрицательное смещение позволяет базовому активу уходить ниже нуля (полезно для ставок). Положительное смещение сдвигает улыбку вправо. Сдвиг нарушает симметрию Блэка-Шоулза и создаёт скью. Уровень ATM остаётся прежним; опционы OTM переоцениваются.

Изучите параметры

Двигайте ползунок смещения, чтобы увидеть, как сдвиг ценовой оси создаёт асимметрию. Ползунок волатильности управляет общим уровнем. Пунктирная синяя линия показывает случай без сдвига (Блэк-Шоулз).

Исследователь смещённой диффузии

Нулевое смещение. Чистое логнормальное распределение — плоская улыбка, без скью.

Уровень волатильности40%

Базовая волатильность смещённого процесса

Смещение (d)0

Отрицательное = допускает отрицательные цены, Положительное = сдвиг вправо

Подвигайте ползунок смещения, чтобы увидеть, как сдвиг ценовой оси создаёт скью. Синяя пунктирная линия показывает несмещённую улыбку для сравнения.

Что делает каждый параметр

• sigma (уровень волатильности): Подразумеваемая волатильность, применяемая к сдвинутому форварду. Выше sigma — всё стоит дороже.
• displacement (d): Насколько далеко вы сдвигаете ценовую ось. Отрицательный d создаёт пут-скью (волатильность растёт при падении цены). Положительный d создаёт умеренный колл-скью. Нулевое смещение — это стандартный Блэк-Шоулз.

Сильные и слабые стороны

Сильная сторона

Что это значит для вас

Работает с отрицательными значениями

При отрицательном смещении модель допускает отрицательные цены базового актива. Это оказалось критически важным, когда процентные ставки стали отрицательными.

Ценообразование в замкнутой форме

Это буквально Блэк-Шоулз со сдвинутыми входными данными. Каждая формула BS, каждый грек — всё переносится в точности.

Два параметра

Уровень волатильности и смещение. Легко калибровать, трудно переобучить.

Ограничение

Что это значит для вас

Нет кривизны улыбки

Как и CEV, смещённая диффузия создаёт скью (наклон), но не улыбку (кривизну). Она не может подогнать рыночную улыбку, которая загибается вверх на обоих крыльях.

Только линейный скью

Создаваемый ею скью почти линеен по страйкам. Реальный рыночный скью имеет кривизну, особенно для краткосрочных опционов.

Смещение произвольно

Нет экономического обоснования для конкретного значения смещения. Это ручка для подгонки, а не модельное понимание.

💡

Кратчайший путь от Блэка-Шоулза к скью

Смещённая диффузия — самый быстрый способ добавить скью в модель Блэка-Шоулза. Хорошая отправная точка, но реальным рынкам нужно больше параметров. Для корректного хеджирования по дельте и веге вдоль всей временной структуры нужна более богатая модель.

Интерактив с уравнениями

Конвертируйте между подразумеваемой волатильностью, полной дисперсией, лог-монейностью и ценами опционов.

Исследователь формул

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Подразумеваемая вол. (σ)

%

Подразумеваемая волатильность

Время до экспирации

дн.

Календарные дни до экспирации

Полная дисперсия (w)

0.022225

Годовая дисперсия (σ²)

0.2704

IV (обратный пересчёт)

52.00%

Полная дисперсия — это то, что калибруют SVI и другие модели. Она растёт со временем: волатильность 50% на 30 дней даёт меньшую полную дисперсию, чем 50% на 90 дней.

---

Проверьте свое понимание перед тем, как продолжить.

Q: Что отрицательное смещение делает с улыбкой волатильности?

Q: Почему смещённая диффузия была популярна на рынках ставок примерно в 2014-2016 годах?

💡 Совет: Попробуйте ответить на каждый вопрос самостоятельно, прежде чем открывать ответ.

Формируем математическую интуицию

Изучить смещённую диффузию с нуляИнтерактивный урок · без предварительных знаний

Этот урок объясняет трюк со сдвигом оси простыми словами, показывает, как параметр смещения меняет улыбку, и связывает модель с интуицией Блэка-Шоулза.

---

См. также:

• Модель CEV — Ещё одна простая модель скью (степенная зависимость)
• Модель SABR — Полноценная модель стохастической волатильности (основа CEV + волатильность волатильности)
• Скью — Почему улыбка наклонена
• Методы интерполяции — Сравнение всех моделей улыбки