CEV с нуля

1/5

Раздел 1

Один параметр управляет всем каркасом

CEV — вероятно, простейшая модель, порождающая скью. Один показатель степени — β — определяет, как коэффициент диффузии масштабируется с уровнем спота. В этом весь трюк.

В Black-Scholes SDE для спота имеет вид dS = σ·S·dW. Шумовой член пропорционален S, поэтому процентная волатильность постоянна. CEV обобщает это до:

Динамика CEV

dS = σ·S·^β·dW

β = 1: вы получаете Black-Scholes (логнормальное). Процентная волатильность постоянна.
β = 0: вы получаете модель Bachelier / нормальную. Диффузия равна σ·dW — аддитивный шум, вообще без зависимости от цены.
0 < β < 1: нечто промежуточное. Диффузия растёт вместе с S, но медленнее, чем пропорционально.

Ментальная модель

Представьте β как ручку на микшерном пульте. До упора вправо (β = 1) — логнормальный мир: постоянные процентные колебания. До упора влево (β = 0) — нормальный мир: постоянные долларовые колебания. Всё, что между, — это смесь. Модель не заботится о скачках, режимах или стохастической волатильности. Она лишь спрашивает: как размер случайного шока зависит от уровня цены?

Процентная волатильность в CEV равна σ·S^β−1. Когда β < 1, показатель степени отрицателен, поэтому процентная волатильность растёт при падении S. Это эффект левериджа, и именно он — весь движок скью в CEV. Никаких дополнительных параметров, никаких дополнительных источников шума. Только показатель степени.

β Спектр

Black-Scholes / логнормальная

β = 1.0

dF = σ · F · dW

Диффузия пропорциональна F. Это обычное геометрическое броуновское движение. Процентная волатильность постоянна. Улыбка подразумеваемой волатильности плоская — скью полностью отсутствует.

Раздел 2

β < 1 означает, что волатильность растёт, когда спот падает

Это эффект левериджа. На фондовых и крипторынках волатильность стабильно растёт при падении спота. CEV с β < 1 воспроизводит это механически, без необходимости во втором стохастическом факторе.

Если β = 0.5, функция локальной волатильности равна σ·√S. Когда S падает со 100 до 50, локальная волатильность не падает пропорционально — она снижается лишь в √(50/100) ≈ 0.71 раза. Но спот упал вдвое. Процентная волатильность фактически возрастает.

Эффект автоматический и детерминированный. Нет корреляционного параметра для настройки, нет второго броуновского движения. Связь цены и волатильности зашита в единственный показатель степени β.

Это создаёт отрицательный скью в подразумеваемой волатильности без каких-либо дополнительных параметров. Когда рынок падает, волатильность механически растёт, поэтому пут-опционы вне денег (OTM) становятся дороже. Путовое крыло улыбки поднимается.

Симулятор эффекта левериджа

Ценовые траектории CEV

Реализованная вол. vs уровень цены

β0.50

β = 0.50 — Умеренный эффект левериджа

Симулятор выше показывает это наглядно. Левая панель: ценовые траектории CEV. Когда β < 1, падающие траектории становятся заметно более шумными — более широкие колебания на низких уровнях. Правая панель: оконная реализованная волатильность в зависимости от уровня цены. Отрицательный наклон — это эффект левериджа.

Установите β = 1, и облако точек выравнивается. Зависимости цены и волатильности нет. Это мир Black-Scholes.

Установите β > 1 и связь инвертируется: волатильность растёт вместе с ценой. На практике это необычно, но показывает вам весь диапазон модели.

Почему это важно трейдерам

Эффект левериджа — не просто модельная диковинка. Он наблюдается в реализованных данных по акциям, кредиту и крипте. Когда рынки распродаются, реализованная волатильность взлетает. CEV говорит, что это не потому, что у волатильности есть собственный случайный процесс, — а потому, что коэффициент диффузии механически зависит от уровня цены. Это самое дешёвое возможное объяснение скью.

Раздел 3

Улыбка подразумеваемой волатильности из CEV

CEV порождает определённую форму подразумеваемой волатильности, полностью управляемую параметром β. Эта форма — наклон, а не U. CEV может создать скью, но не может породить симметричную улыбку.

Соответствие простое:

β = 1: Плоская улыбка. Ни скью, ни кривизны. Это Black-Scholes.

β < 1: Отрицательный скью. Путовое крыло приподнято, колловое крыло опущено. Чем сильнее β ниже 1, тем круче скью.

β > 1: Положительный скью. Колловое крыло поднимается, путовое опускается. Редко на фондовых/крипторынках, но возможно на некоторых товарных рынках.

Что критически важно, улыбка в CEV монотонна. Она наклоняется в ту или иную сторону, но не имеет U-образной формы. Нет механизма, который поднял бы оба крыла одновременно, поскольку нет vol-of-vol или стохастической дисперсии, которые породили бы симметричное обогащение крыльев.

β Обозреватель Backbone

Функция локальной vol

Итоговая улыбка

β0.50

Режим: Суб-логнормальный (отрицательный скью)

ATM IV3.0%

Пут-скью 90/100+0.1%

β0.50

Наклон локальной volОбратный

Обозреватель выше показывает обе части: функцию локальной волатильности σ·S^β слева, и получаемую улыбку подразумеваемой волатильности справа. Перетаскивайте β и наблюдайте, как они движутся вместе. Наклон локальной волатильности напрямую определяет наклон улыбки.

При β = 1 функция локальной волатильности представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат (пропорциональна S). Улыбка плоская. По мере того как β опускается ниже 1, функция локальной волатильности загибается вниз при высоких S -- то есть процесс становится менее волатильным при более высоких ценах. Улыбка наклоняется влево.

Приближённая подразумеваемая волатильность

σ_impl(K) ≈ σ·F^β−1 · [1 − ½(1−β) · ln(K/F) + ...]

Ведущий член скью -- это −½(1−β). Когда β < 1, он отрицателен: более низкие страйки получают более высокую подразумеваемую волатильность. Разложение показывает, что крутизна скью линейна по (1−β).

Раздел 4

CEV как каркас SABR

SABR’s forward equation is dF = σ·F^β·dW₁. Это буквально процесс CEV. SABR просто добавляет сверху второе SDE для самого параметра волатильности.

Полная система SABR выглядит так:

Система SABR

dF = σ·F^β·dW₁

dσ = ν·σ·dW₂

corr(dW₁, dW₂) = ρ

Первая строка: остов CEV. Тот же β показатель, та же механика.
Вторая строка: σ теперь стохастична. ν (vol-of-vol) управляет тем, насколько σ блуждает. Когда ν = 0, σ постоянна, и вы возвращаетесь к чистому CEV.
Третья строка: два броуновских движения коррелированы. ρ добавляет дополнительный наклон поверх того, что уже обеспечивает β.

Итак, CEV -- это детерминированная основа SABR. Показатель β управляет формой остова улыбки. Затем SABR добавляет сверху стохастическую волатильность: ν генерирует кривизну (обогащение крыльев), а ρ добавляет дополнительный направленный наклон.

На практике дески по ставкам часто фиксируют β на общепринятом значении (0.5 для ставок, иногда 0 или 1 в зависимости от режима), а затем калибруют σ, ν, ρ под наблюдаемую улыбку. Остов выбирается один раз; стохастический слой подгоняется ежедневно.

Улыбка: CEV vs SABR

β (общий)0.50

ν (SABR)0.40

ρ (SABR)-0.30

CEV (сплошная) — только бэкбон, один параметр

SABR (пунктирная) — добавляет кривизну за счёт волатильности волатильности

CEV верно передаёт наклон, но не создаёт кривизну. Параметр ν (волатильность волатильности) в SABR приподнимает оба крыла, формируя U-образную форму. Задайте ν = 0 — и кривые совпадут: SABR сводится к CEV.

Сравнение выше делает это наглядным. Сплошная зелёная кривая -- это CEV сам по себе -- монотонный наклон. Пунктирная синяя кривая -- это SABR с тем же β но ненулевым ν. SABR добавляет кривизну, которую CEV не может создать.

Установите ν = 0 на ползунке и наблюдайте, как кривые идеально накладываются друг на друга. Это подтверждает взаимосвязь: SABR с нулевым vol-of-vol -- это в точности CEV. Остов общий.

Инсайт по калибровке

Когда вы калибруете SABR, выбор β не так безобиден. Он определяет, какая часть наблюдаемого скью относится к остову (зависящая от цены волатильность), а какая -- к стохастическому слою (ρ наклон). Разные варианты β приводят к разным ρ подгоняется, что влияет на динамику форварда и, следовательно, на поведение хеджирования. Понимание CEV само по себе помогает разобраться, что на самом деле делает β внутри SABR.

Раздел 5

Ограничения и применения

CEV слишком проста для подгонки реальных улыбок. Но это верная ментальная модель для понимания того, как работает зависящая от цены волатильность, и она присутствует внутри каждой калибровки SABR.

Что CEV не может:

Нет кривизны. У реальных улыбок есть и наклон, и кривизна — пут-крылья крутые, колл-крылья приподняты. CEV даёт монотонный наклон, но не U-образную форму. Если попытаться подогнать реальную крипто-улыбку одной лишь CEV, вы полностью упустите крылья.

Нет динамики временной структуры. У CEV нет возврата к среднему, нет кластеризации волатильности, нет смены режимов. Функция локальной волатильности статична. Краткосрочные и долгосрочные улыбки имеют одинаковую форму, что противоречит наблюдаемому поведению временной структуры.

Поглощение в нуле. При β < 1, процесс может достичь нуля и поглотиться. Это техническая головная боль для ценообразования и требует специальных граничных условий.

Для чего CEV хороша:

Объяснение эффекта левериджа. Если нужна одна модель, чтобы объяснить, почему волатильность растёт при падении спота, — это CEV. Один параметр, один механизм, чистая интуиция.

Выбор каркаса SABR. При калибровке SABR вы сначала выбираете β . Понимание того, что делает CEV само по себе, показывает, что вы относите к бэкбону, а что — к стохастической надстройке.

Быстрые приближения скью. Разложение подразумеваемой волатильности CEV даёт вам аналитическую связь между β и крутизной скью. Если кто-то называет вам число скью, вы можете в уме вывести подразумеваемое β .

Спор о нормальной и логнормальной модели. На процентных рынках выбор между нормальной (β = 0) и логнормальной (β = 1) конвенциями котирования — это живая дискуссия. CEV превращает это в непрерывный спектр, а не в бинарный выбор.

Строчка, которую стоит запомнить

CEV говорит: размер случайного шока зависит от уровня цены, а β определяет, как именно. Всё остальное — скью, эффект левериджа, бэкбон SABR — следует из этой единственной идеи.

Куда двигаться дальше:

Модель SABR — стохастическое расширение волатильности, использующее CEV в качестве каркаса

Параметризация SVI — прямая подгонка улыбки для продакшн-поверхностей

Модель Heston — иной подход к стохастической волатильности с возвратом дисперсии к среднему

Методы интерполяции — сравнение всех методов