Модель CEV

CEV (Constant Elasticity of Variance — постоянная эластичность дисперсии) — это простейшая модель, порождающая скью. Она лежит в основе SABR: обнулите волатильность волатильности в SABR — и получите CEV. Всем управляет один параметр.

💡

Один параметр: бета

Бета определяет, как волатильность масштабируется с ценой базового актива. Меньше бета = больше скью. Это и есть вся модель.

Исследуйте бету

Двигайте ползунок и наблюдайте, как меняется улыбка по мере движения беты от логнормальной модели (плоская улыбка) к нормальной (крутой скью). Пунктирная синяя линия всегда показывает эталон Блэка–Шоулза (бета = 1), чтобы вы могли видеть скью, который добавляет CEV.

Исследователь смайла CEV

Традиционное допущение для ставок. Волатильность растёт при падении цены, создавая умеренный скью путов.

β (бэкбон)0.50

0 = нормальная, 0.5 = квадратный корень, 1 = логнормальная (Black-Scholes)

Потяните β вниз, чтобы увидеть, как появляется скью. Синяя пунктирная линия показывает плоский смайл Black-Scholes для сравнения.

Что делает бета

• бета = 1 (логнормальная модель): Процентные движения остаются постоянными. Актив по 50 и актив по 500 оба движутся на 2% в день. Это Блэк–Шоулз — идеально плоская улыбка, без скью.
• бета = 0.5 (квадратный корень): Промежуточный вариант. Подразумеваемая волатильность растёт при падении цены, но не так агрессивно, как в нормальной модели. Традиционное допущение на рынках ставок.
• бета = 0 (нормальная модель): Долларовые движения остаются постоянными. Движение на $1 остаётся движением на$1 независимо от уровня цены. Волатильность (в процентах) взлетает при падении цены — максимальный скью. Волатильность ATM остаётся постоянной, а волатильность OTM-путов резко растёт.

Сильные и слабые стороны

Сильная сторона

Что это значит для вас

Один параметр

Нечего переобучать. Бета кодирует единственное допущение о том, как волатильность связана с ценой.

Естественный скью

Меньшая бета автоматически создаёт скью в сторону путов — дополнительная подгонка не нужна.

Фундамент для SABR

Понимание CEV даёт интуицию о том, что делает параметр бета внутри SABR.

Ограничение

Что это значит для вас

Нет кривизны улыбки

CEV порождает скью (наклон), но не улыбку (кривизну). Оба крыла не поднимаются — для этого нужна волатильность волатильности (как в SABR).

Статичность

Это модель локальной волатильности. Она описывает, какова волатильность сейчас, а не то, как сама волатильность может случайно меняться.

Не используется сама по себе

CEV всегда является частью SABR или другой модели. Никто не калибрует CEV отдельно для торговли.

💡

Строительный блок, а не торговая модель

CEV объясняет, что делает бета внутри SABR, которая и есть торговая модель. Если бета в SABR вас запутывает — возвращайтесь сюда. Для хеджирования дельты и веги нужна модель, которая также учитывает временную структуру.

Исследователь уравнений

Пересчитывайте между подразумеваемой волатильностью, полной дисперсией, лог-монейностью и ценами опционов.

Исследователь формул

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Подразумеваемая вол. (σ)

%

Подразумеваемая волатильность

Время до экспирации

дн.

Календарные дни до экспирации

Полная дисперсия (w)

0.022225

Годовая дисперсия (σ²)

0.2704

IV (обратный пересчёт)

52.00%

Полная дисперсия — это то, что калибруют SVI и другие модели. Она растёт со временем: волатильность 50% на 30 дней даёт меньшую полную дисперсию, чем 50% на 90 дней.

---

Проверьте свое понимание перед тем, как продолжить.

Q: Что происходит с улыбкой волатильности при снижении беты от 1 к 0?

Q: Почему CEV не может создать улыбку волатильности (кривизну обоих крыльев)?

Q: Если в SABR задать nu = 0, какая модель получится?

💡 Совет: Попробуйте ответить на каждый вопрос самостоятельно, прежде чем открывать ответ.

Формирование математической интуиции

Изучить CEV с нуляИнтерактивный урок · без предварительных знаний

Этот урок начинается с идеи о том, что волатильность может зависеть от уровня цены, затем показывает, как бета создаёт скью и как CEV располагается между Блэком–Шоулзом, нормальной моделью и SABR.

---

См. также:

• Модель SABR — CEV + стохастическая волатильность волатильности
• Смещённая диффузия — ещё одна простая модель скью (сдвинутая логнормальная)
• Скью — почему улыбка наклоняется
• Методы интерполяции — сравнение всех моделей улыбки