Black-Scholes с нуля

1/7

Раздел 1

Что такое колл-опцион?

Колл-опцион — это выбор: вы можете купить позже по фиксированной цене K или отказаться. Именно эта деталь формирует всю кривую выплаты.

Если актив истекает ниже страйка, вы игнорируете опцион. Если выше — покупаете по более выгодной фиксированной цене и забираете разницу.

Спот на экспирацию$115

Payoff = max($115 − $100, 0) = $15 — покупка по $100, продажа по $115

Потяните ползунок. Ниже K выплата равна нулю — вы бы никогда не исполнили опцион. Выше K выплата растёт доллар к доллару. Этот излом в точке K — вся причина существования опционов.

Аналогия

Представьте небольшую плату за бронь билета на концерт. Если цены на перепродаже взлетят, ваша бронь ценна. Если цены останутся низкими — вы просто отказываетесь. Премия опциона и есть эта плата за бронь.

Раздел 2

Пять входных параметров

Прежде чем записывать формулу, сделайте каждый символ привычным. Если символы остаются загадочными, вся модель остаётся загадочной.

Двигайте каждый ползунок ниже и смотрите, как реагирует цена колла. Каждый параметр толкает цену в свою сторону. Прочувствуйте это, прежде чем мы назовём формулу.

SСпот-цена$100

Где актив находится сейчас.

KЦена страйка$100

Цена, по которой вы сможете купить позже.

TВремя до экспирации1.00 yr

Как долго опцион остаётся действующим.

rБезрисковая ставка5.0%

Сколько приносят деньги, пока вы ждёте.

σВолатильность20%

Насколько широким ощущается будущий диапазон цен.

Цена колла

$11.91

Пут: $7.03

d₁ = 0.3500 · d₂ = 0.1500

Суть в одном предложении: Black-Scholes оценивает право, стоимость которого зависит от того, где актив сейчас (S), по какой цене можно купить (K), сколько у вас времени (T), насколько широким может быть будущее (σ) и сколько стоит ожидание (r).

Раздел 3

Две большие части

Большинство сначала встречает готовую формулу. Это неправильный порядок. Сначала усвойте логику, а затем накладывайте на неё символы.

Пройдите по трём слоям ниже. Смотрите, как слова превращаются в математику.

Идея

цена колла = потенциал роста как у актива − стоимость покупки позже

C = S · N(d₁) − K · e⁻ʳᵀ · N(d₂)

Наведите курсор на любую часть формулы, чтобы увидеть её значение.

Первая часть — сколько актив-подобного роста вы получаете. Вторая часть — сколько вы бы за это заплатили, дисконтированное к сегодняшнему дню. Разница — это стоимость опциона.

N(d₁) и N(d₂) — веса от 0 до 1. Они происходят из нормального распределения. Далее мы их разберём.

Раздел 4

Что такое d₁ и d₂?

Часть, которая пугает большинство. В ней нет мистики. Это оценочные показатели — они измеряют, насколько выгодна конфигурация опциона, в единицах волатильности за один срок жизни.

N(d) — это площадь под колоколообразной кривой слева от d. Потяните ползунок и смотрите, как меняется закрашенная площадь — вес.

d₁0.35

N(d₁)0.6701

N(d₂)0.5793

d₂ = d₁ − σ√T0.15

Разбираем d₁:

Числитель d₁

ln(S/K) + (r + σ²/2)T

ln(S/K) — мы выше или ниже страйка, в логарифмической шкале?
(r + σ²/2)T — снос и поправка на волатильность за срок жизни опциона.

Знаменатель d₁

σ√T

Волатильность за один срок жизни опциона. Это линейка, которой вы всё измеряете. Числитель говорит, насколько выгодна конфигурация; знаменатель выражает это в единицах «колебаний».

d₂

d₂ = d₁ − σ√T

Тот же оценочный показатель, минус полная волатильность за срок жизни. N(d₁) взвешивает часть с активом. N(d₂) взвешивает часть платежа по страйку.

Раздел 5

Разберём полный пример

Числа делают всё реальным. Начните с удобных значений по умолчанию, затем меняйте параметры и смотрите, как обновляется каждый промежуточный шаг.

S

K

T

r

σ

ln(S/K) = ln(100/100) = 0.0000▸

Точно на страйке — без встроенного преимущества по монейности.

(r + σ²/2)T = (0.05 + 0.0200) × 1 = 0.0700▸

Дрейф + поправка на волатильность за срок жизни опциона.

σ√T = 0.2 × 1.0000 = 0.2000▸

Одна единица волатильности за срок жизни — мерная шкала.

d₁ = 0.0700 / 0.2000 = 0.3500▸

Конфигурация — 0.35 колебаний в благоприятную сторону.

d₂ = 0.3500 − 0.2000 = 0.1500▸

Тот же показатель, минус одна единица волатильности за срок жизни.

N(d₁) = 0.6701, N(d₂) = 0.5793

Два веса из нормального распределения.

C = 100 × 0.6701 − 100 × e^(-0.0500) × 0.5793▸

$67.01 потенциального роста за вычетом $55.10 дисконтированной стоимости.

C = $11.91

Цена колл-опциона по Black-Scholes.

Раздел 6

Почему именно эта цена, и никакая другая

Black-Scholes — не догадка. Её основа — репликация: если вы можете скопировать опцион с помощью актива и денег, то опцион и копия должны стоить одинаково.

Упростим до одного периода. Актив идёт к $120 или $80. Колл с K = 100 выплачивает $20 или $0. Можем ли мы построить портфель из актива и денег, который точно повторяет эти выплаты?

Реплицирующий портфель

120Δ + B = 20Воспроизведите выплату в состоянии роста

80Δ + B = 0Воспроизведите выплату в состоянии падения

Δ = 0.5, B = −40Половина акции, взять в долг $40

Cost = 0.5 × 100 − 40 = $10Опцион также должен стоить $10 — иначе возникает арбитраж

Копия стоит $10. Опцион тоже должен стоить $10 — иначе кто-то купит дешёвое, продаст дорогое и получит безрисковую прибыль. Именно поэтому модель дисциплинируется арбитражем, а не ощущениями.

Black-Scholes — это плавная версия этого аргумента о копировании в непрерывном времени, применяемая бесконечное число раз по мере непрерывного изменения цены актива.

Раздел 7

Запишите по памяти

Нажмите на каждую карточку, чтобы проверить себя. Если вы заполните все четыре, значит формула у вас железно.

Быстрая проверка на запоминание — нажмите, чтобы увидеть ответы:

Куда двигаться дальше:

Подразумеваемая волатильность — использование модели в обратную сторону, от цены

Справочник по грекам — связь цены с чувствительностями хеджа

Пут-колл паритет — следующее ценовое тождество, которое стоит выучить железно