Статическая репликация с нуля

1/5

Раздел 1

Любая выплата — сумма более простых выплат

Любая сложная диаграмма выплат, которую вы когда-либо видели, — это просто портфель из более простых элементов. Коллы, путы, форварды. Форма, которую вы видите, — это сумма их отдельных линий выплат.

Бабочка — это три колла. Стрэддл — колл плюс пут. Коллар — базовый актив плюс пут минус колл. Ничего экзотического в этом нет. Это просто линейные комбинации ванильных опционов.

Выберите форму выплаты ниже и нажмите Разложить, чтобы увидеть составные части, которые в сумме дают зелёную кривую. Пунктирные линии — отдельные ноги. В сумме они дают сплошную зелёную линию.

Long 90C + Long 130C + Short 2x110C

Почему это важно

Если любая выплата — это сумма более простых выплат, то оценка любой выплаты сводится к оценке её частей. А если этими частями можно торговать, вы можете реплицировать любую форму без специального инструмента. В этом и состоит главное обещание статической репликации.

Раздел 2

Ванильные опционы как строительные блоки

Колл-спред — это два колла. Бабочка — три. Железный кондор — четыре. Имея достаточно коллов и путов на нужных страйках, можно аппроксимировать любую кусочно-линейную выплату.

Каждый ванильный опцион добавляет один «излом» к суммарной выплате. Колл со страйком K изгибает выплату вверх в точке K. Пут со страйком K изгибает её вверх ниже K. Каждый излом меняет наклон на величину количества опционов.

Соберите собственный портфель ниже. Добавляйте коллы и путы на разных страйках. Наблюдайте, как совокупная выплата обновляется в реальном времени. Попробуйте построить плоскую выплату между 90 и 120 с нулём выше и ниже этого диапазона.

КоллПутKКол-во

КоллПутKКол-во

Ключевой принцип

Combined payoff = Σ q_i · payoff_i(S)

Каждая нога вносит вклад, равный её количеству, умноженному на её индивидуальную выплату при данной спотовой цене. Совокупная форма — это просто сумма. Именно эта линейность делает репликацию возможной.

Раздел 3

Результат Бридена — Литценбергера

Вторая производная цен коллов по страйку даёт риск-нейтральную плотность вероятности. Рынок неявно сообщает вам вероятность каждого возможного исхода.

Бриден и Литценбергер (1978) показали: если взять сетку цен коллов по страйкам и вычислить кривизну в каждой точке, вы получите функцию плотности риск-нейтрального распределения. Модель не нужна. Только цены и арифметика.

Бриден — Литценбергер

∂²C / ∂K² = e^−rT · f(K)

f(K) — риск-нейтральная плотность вероятности на страйке K. Вторая производная функции цены колла по страйку, умноженная на дисконтирующий множитель, И ЕСТЬ плотность. Наведите курсор на сетку цен ниже, чтобы увидеть кривизну на каждом страйке.

Цены коллов по страйкам (S=100, r=5%)

K=60$40.75

K=64$36.80

K=68$32.86

K=72$28.94

K=76$25.06

K=80$21.29

K=84$17.70

K=88$14.42

K=92$11.61

K=96$9.53

K=100$8.50

K=104$6.24

K=108$4.00

K=112$2.56

K=116$1.62

K=120$1.01

K=124$0.63

K=128$0.38

K=132$0.23

K=136$0.14

K=140$0.08

Вол. (σ)30%

Время (T)0.25y

Зелёная кривая — извлечённая плотность. Её пик показывает, где, по мнению рынка, базовый актив с наибольшей вероятностью рассчитается. Её ширина показывает степень неопределённости рынка. Увеличьте волатильность и посмотрите, как плотность становится более плоской и растянутой.

Это не оценка и не результат модели. Это прямое, безмодельное извлечение из рыночных цен. Единственное допущение — цены коллов дважды дифференцируемы по страйку, что выполняется на любом безарбитражном рынке.

Раздел 4

Репликация бинарного опциона

Бинарный колл платит $1 выше страйка и $0 ниже. Его можно аппроксимировать узким колл-спредом: купить колл на K, продать колл на K+ε и масштабировать на 1/ε. Когда ширина спреда стремится к нулю, наклон превращается в ступеньку.

Это фундаментальная связь между ванильными и бинарными опционами. Бинарный опцион — это предел колл-спреда при сужении его ширины. Эквивалентно, бинарный опцион — это производная цены колла по страйку с обратным знаком: D(K) = −∂C/∂K.

Двигайте ползунок, чтобы сузить спред. Наблюдайте, как синяя «рампа» сходится к зелёной ступенчатой функции.

Бинарный (цель)Call spread (1/ε) × [C(K) - C(K+ε)]

Ширина спреда (ε)10.0

Широкий спред. Наклонный участок плохо приближает бинарный опцион.Макс. погрешность: 100.0% от номинала

От колл-спреда к бинарному опциону

D(K) = lim_ε→0 (1/ε) · [C(K) − C(K+ε)]

Выплата колл-спреда — это наклон высотой 1/ε на ширине ε. По мере того как ε уменьшается, наклон становится всё круче и превращается в ступенчатую функцию. В пределе это в точности бинарный опцион. Именно поэтому маркетмейкеры хеджируют бинарные опционы узкими ванильными спредами — ограниченная дельта, без дираковского всплеска.

Раздел 5

Репликация произвольных выплат

Карр и Мадан (1998) доказали, что любую дважды дифференцируемую европейскую выплату можно разложить на три части: форвардную позицию, стрип путов вне денег (OTM) ниже форварда и стрип коллов OTM выше форварда.

Это формула Карра — Мадана. Она гласит: кривизна целевой выплаты — вторая производная f″(K) — определяет, сколько нужно каждого OTM-опциона. Линейная часть выплаты покрывается форвардом. Кривизна покрывается стрипами опционов.

Выберите выплату ниже и нажмите Показать разложение Карра — Мадана, чтобы увидеть три компонента. Жёлтая линия — форвардная составляющая. Красная область — стрип OTM-путов. Синяя область — стрип OTM-коллов. В сумме они дают зелёную целевую кривую.

Обратите внимание на разделительную линию на уровне F (форвардной цены). Ниже F вклад дают только путы. Выше F — только коллы. Это не случайность: использование OTM-опционов минимизирует стоимость репликации, поскольку OTM-опционы дешевле ITM-опционов при том же информационном содержании.

Практическое следствие

Разложение Карра — Мадана — теоретическая основа свопов на дисперсию, расчёта VIX и стратегий репликации портфелей. Формула VIX — буквально дискретная аппроксимация этого интеграла. Каждый раз, когда вы встречаете «стрип опционов», за ним стоит именно эта математика.

Что изучить дальше:

Бинарные опционы — строительный блок репликационных лестниц

Дельта-хеджирование — динамическая альтернатива статической репликации

Подразумеваемая волатильность — извлечение рыночных ожиданий из цен