Bates с нуля
1/5Heston + скачки = Bates
Heston объясняет улыбку на дальних сроках: стохастическая дисперсия создаёт плавный скью и временную структуру. Merton объясняет улыбку на коротких сроках: скачки в ценовом процессе формируют крутые крылья на ближних экспирациях. Bates объединяет оба подхода в одной модели.
Суть проблемы проста. Heston движется непрерывно — спот-цена никогда не «телепортируется». Поэтому Heston сам по себе не может объяснить, почему недельный пут с дельтой 25 может торговаться по волатильности 80%, а годовой — по 55%. Крутизна крыльев на коротких сроках требует того, чего непрерывная диффузия дать не может: мгновенных гэпов.
Merton (1976) решил проблему гэпов, добавив пуассоновский скачковый процесс к геометрическому броуновскому движению. Но у Merton нет стохастической дисперсии, поэтому он не воспроизводит динамику временной структуры. Он хорошо оценивает одну экспирацию, но разваливается по всей кривой.
Bates (1996) склеил обе модели воедино. Результат — рабочая лошадка для деривативных деск-групп по экзотике, которым нужны и реалистичная динамика, и удобное для расчётов ценообразование.
Вторая строка: дисперсия следует тому же CIR-процессу, что и в Heston. Здесь ничего не меняется.
Третья строка: та же корреляционная структура. ρпо-прежнему формирует гладкий скью.
Представьте машину на ухабистой дороге (Heston: качество покрытия меняется стохастически). Теперь добавьте ямы, появляющиеся случайно (скачки Merton: машина внезапно проваливается). Для ухабов нужна подвеска, для ям — подушки безопасности. Bates даёт и то, и другое.
Ключевое математическое наблюдение: поскольку скачковая компонента независима от процесса дисперсии, характеристическая функция Bates — это просто характеристическая функция Heston, умноженная на скачковый множитель Merton. Значит, ценообразование остаётся полуаналитическим — обращение Фурье по-прежнему работает. Для ванильных опционов Монте-Карло не нужен.
Что делают дополнительные параметры
Bates наследует пять параметров Heston (κ, θ,σ, ρ, v₀) и добавляет три параметра скачков:λ (частота скачков), μⱼ (средний размер скачка) и σⱼ (волатильность скачков). Всего восемь настроек.
λ (lambda) — интенсивность скачков. Ожидаемое число скачков в год. λ = 0 возвращает чистый Heston. λ = 2 означает в среднем примерно два скачка в год. Более высокое λ сильнее приподнимает крылья, потому что рынок закладывает в опционы больше гэп-событий.
μⱼ (mu-J) — средний размер скачка. Средняя логарифмическая доходность скачка. Отрицательное μⱼ означает, что скачки смещены вниз (обвальные скачки). Это создаёт асимметрию: пут-крыло становится круче, чем колл-крыло. В криптеμⱼ обычно находится между −0.05 and−0.15, отражая каскады ликвидаций и флеш-крэши.
σⱼ (sigma-J) — волатильность скачков. Стандартное отклонение размеров скачков. Даже если средний скачок равен нулю, ненулевое σⱼ создаёт симметричный подъём крыльев. Это чистый избыточный эксцесс от скачков случайного размера. Чем большеσⱼ, тем толще хвосты.
Включите и выключите скачки выше. Когда скачки выключены, вы видите чистый Heston (синий пунктир). Включите их — и крылья поднимаются, особенно левое, потому что μⱼ < 0 смещает скачки вниз. Поднимите λ до 3 или 4 — и эффект становится драматичным. Установите μⱼ = 0 и обратите внимание, что подъём становится симметричным.
Ключевой вывод: ρ (Heston) и μⱼ(скачки) оба создают скью, но через совершенно разные механизмы.ρ создаёт скью через корреляцию спот-волатильность, которая нарастает постепенно со временем. μⱼ создаёт скью через направленные скачки, которые появляются мгновенно. Именно поэтому Bates может одновременно подогнать и короткий, и длинный конец.
Декомпозиция временной структуры
Улыбка на коротких сроках — это в основном скачки. Улыбка на дальних сроках — в основном стохастическая волатильность. Ради этого разделения Bates и существует: ни одна из компонент по отдельности не описывает всю временную структуру.
Механизм заключается в масштабировании дисперсии. Диффузионная дисперсия накапливается пропорционально T: за год у диффузионной компоненты есть время, чтобы вырасти. Дисперсия скачков тоже масштабируется с T (λ · T ожидаемых скачков), но каждый отдельный скачок имеет один и тот же размер независимо от горизонта.
При T = 7 дней у диффузионной дисперсии почти не было времени накопиться, но единичный скачок всё равно может ударить по вам в полную силу. Один −обвал на 10% за неделю имеет такое же влияние на выплату, как и−обвал на 10% за год, но за 7 дней этот обвал составляет гораздо большую долю от общего ожидаемого движения, чем за 365 дней.
При T = 1 год стохастическая волатильность успевает пройти полное распределение траекторий дисперсии. Возврат к среднему, кластеризация волатильности и корреляция спот-вол — всё проявляется. Скачковая компонента никуда не девается, но составляет меньшую долю совокупной дисперсии.
Посмотрите на четыре графика выше. При T = 7d красная область (вклад скачков) доминирует в крыльях. При T = 1y это тонкая полоска. Увеличьте λ и посмотрите, как смещается точка пересечения — более частые скачки выталкивают вклад скачков дальше по кривой.
Из этой декомпозиции следуют прямые торговые выводы. Считаете, что риск скачков оценён неверно — торгуете короткий конец. Считаете, что неверно оценена динамика дисперсии — торгуете дальний конец. Bates даёт каркас для разделения этих ставок.
Калибровка модели Bates
Восемь параметров — это много. Разные комбинации могут давать похожие улыбки, а оптимизатор рискует забрести в нестабильную область. Практическая калибровка требует дисциплины.
Стандартный подход — двухэтапная стратегия:
Этап 1: зафиксируйте то, что наблюдаемо. v₀ фиксируется из текущей ATM подразумеваемой дисперсии. Скорость сноса r известна. Остаётся семь свободных параметров.
Этап 2: калибруйте по группам. Сначала подгоните κ, θ, σ, ρ к долгосрочной улыбке (где вклад скачков мал). Затем подгонитеλ, μⱼ, σⱼ к краткосрочным остаткам. Повторите несколько раз для уточнения.
Подход работает потому, что две группы параметров отвечают за разные части поверхности. Параметры Heston формируют дальний конец, скачковые параметры — ближний. Последовательная подгонка снижает размерность каждого шага оптимизации.
Ловушка переобучения. Большее число параметров всегда улучшает подгонку на выборке. Но если вы дадите всем восьми свободно плавать, вы рискуете подогнать шум. Характерный признак: параметры, которые резко меняются день ото дня, но дают схожие улыбки. Если λ колеблется между 0.5 и 3.0 в последовательных калибровках, ваша подгонка нестабильна.
Диаграмма выше показывает реалистичное сравнение. Heston (оранжевый, 5 параметров) хорошо описывает область ATM, но систематически промахивается по глубоко OTM путам. Bates (зелёный, 8 параметров) точно попадает в крылья: скачковая компонента улавливает крутой скью коротких сроков, недоступный Heston.
Посмотрите на график остатков под основной диаграммой. Остатки Heston велики и систематичны в крыльях — модель смещена, а не просто зашумлена. Остатки Bates меньше и более случайны. Это признак настоящего улучшения, а не переобучения.
Эмпирическое правило: если добавление 3 параметров снижает SSE более чем на 50%, дополнительная сложность себя оправдывает. Если снижение всего 10-20%, возможно, лучше остаться на Heston и смириться с ошибкой в крыльях.
Рабочая лошадка крипторынка
Bates — стандартная модель для криптодесков по экзотике, поскольку крипторынкам присущи и стохастическая волатильность, и частые скачки. Каскады ликвидаций, депеги и сбои бирж создают реальный риск гэпов, который Heston в одиночку оценить не может.
У криптовалютных поверхностей волатильности есть характерные особенности, с которыми Bates хорошо справляется:
Устойчивые режимы волатильности. BTC может неделями держаться на 30% IV, а затем подскочить до 80% на единственном каскаде ликвидаций. Низкаяκ (медленное возвращение к среднему) в сочетании с высокой v₀отражает среду после шока. Это работа компоненты Heston.
Частые гэпы. Внутридневной обвал на 10% редок в акциях, но случается несколько раз в год в крипте. Это настоящие скачки, а не просто крупные диффузионные движения. Они проявляются как чрезвычайно крутые краткосрочные пут-крылья, которые никакаяσ (vol-of-vol) не может воспроизвести. С этим справляется компонента скачков.
В обе стороны. В отличие от рынков акций, где скачки почти всегда направлены вниз, в крипте есть и значительный риск гэпа вверх (шорт-сквизы, неожиданные одобрения ETF, листинги на биржах). Установкаμⱼ ближе к нулю (или даже слегка положительно для некоторых монет) позволяет модели улавливать симметричный риск гэпа.
Декомпозиция дисперсии выше показывает, как совокупная дисперсия ATM делится между диффузионной и скачковой компонентами. При типичных для крипты параметрах на скачки может приходиться 20-40% совокупной дисперсии. Это не поправочный член — это эффект первого порядка.
За пределами Bates: SLV. Bates подгоняет наблюдаемую поверхность лучше, чем Heston, но всё же не может точно подогнать каждый страйк и экспирацию. Для промышленного ценообразования экзотики большинство деск-команд накладывают сверху слой локальной волатильности, создавая стохастически-локальную модель волатильности (SLV). Bates даёт движок динамики; локальная волатильность даёт точную калибровку. Смотрите справочник по SLV для подробностей.
Когда Bates избыточен: если вам нужно лишь интерполировать одну улыбку для одной экспирации, используйте SVI. Если вам нужна полная поверхность без динамики, SSVI быстрее и стабильнее. Bates оправдывает свою сложность, когда вам нужна динамика базового актива — для ценообразования экзотики, хеджирования путь-зависимых продуктов или разложения улыбки на экономические компоненты.
Black-Scholes: улыбки нет. Одна волатильность не описывает ничего.
Heston: плавная динамика улыбки. Работает на дальнем конце.
Bates: плавность + скачки. Работает на обоих концах.
SLV: точная калибровка + динамика. Промышленный стандарт.
Каждая ступень добавляет сложность и стоимость калибровки. Искусство — понимать, когда дополнительная механика оправдывает издержки именно в вашем случае.
Что изучить дальше:
Heston с нуля — подробный разбор пяти параметров Heston
Параметризация SVI — стандарт подгонки улыбки для криптовалютных поверхностей волатильности
SSVI — безарбитражная параметризация всей поверхности
Методы интерполяции — сравнение всех методов