Башелье с нуля

1/5

Раздел 1

Доллары, а не проценты

Блэк–Шоулз говорит: «движение на 10%». Башелье говорит: «движение на $10». В этом и заключается всё философское различие между двумя старейшими моделями ценообразования опционов.

Луи Башелье опубликовал свою модель в 1900 году — за 73 года до Блэка и Шоулза. Его идея была предельно проста: изменения цены аддитивны и распределены нормально. Вся модель — одно уравнение:

Динамика Башелье

dS = σ_n · dW

σ_n — это нормальная волатильность, измеряемая в долларах (или базисных пунктах) на корень из года, а не в процентах. dW — стандартное броуновское приращение.

Если нормальная волатильность равна $20, модель предсказывает движение цены примерно на $20 за год. Стартует ли цена с $40 или с $400 — размах колебаний в долларах одинаков. Именно это означает «аддитивность»: шум не масштабируется с уровнем цены.

Сравните это с Black-Scholes, где шум мультипликативен: dS = S·σ·dW. Та же волатильность 30% даёт движение на $30 при цене $100, но на $150 при цене $500. Линейка растягивается.

Метафора линейки: фиксированные деления vs эластичные деления

Уровень цены$100

Bachelier: $10 — это $10 вездеBS: 10% растягиваются вместе с ценой

Подвигайте ползунок цены. Линейка Башелье сохраняет деления с фиксированным шагом в долларах. Линейка BS растягивается или сжимается, потому что каждое деление — фиксированный процент от текущей цены.

Почему это важно

Аддитивная модель допускает отрицательные цены. Для опционов на акции это баг. Но для процентных ставок (которые уходили в минус в EUR, JPY, CHF) и для спредов (которые по природе знаковые) это преимущество. Башелье опередил своё время на 73 года — его «дефект» стал отраслевым стандартом для опционов на ставки.

Раздел 2

Формула проще, чем кажется

В цене колла по Башелье меньше составных частей, чем в Блэке–Шоулзе. Никаких логарифмов. Никакой возни с дисконт-фактором. Только вычитание, отношение и два обращения к нормальному распределению.

Цена колла по Башелье

C = (S − K)·Φ(d) + σ_n√T · φ(d)

d = (S − K) / (σ_n·√T)

Φ — нормальная функция распределения (вероятность оказаться ниже значения). φ — нормальная плотность (высота колокола). d измеряет, на сколько стандартных отклонений спот выше страйка — та же концепция, что и d₁ в BS, но в долларовом выражении, а не в логарифмическом.

Разбейте формулу на две части — и её легко запомнить:

Piece 1: (S − K)·Φ(d) — внутренняя выплата, взвешенная по вероятности. Если колл истекает в деньгах, вы получаете S − K. Φ(d) — вероятность того, что это произойдёт.

Piece 2: σ_n√T·φ(d) — подушка временной стоимости. Даже если спот близок к страйку, неопределённость даёт опциону шанс. Больше волатильности или больше времени увеличивают это слагаемое.

Сравните с Black-Scholes: C = S·Φ(d₁) − K·e−rT·Φ(d₂). BS использует ln(S/K), тогда как Bachelier использует S−K. Этот логарифм — вся разница. Вблизи ATM они совпадают.

Bachelier и Black-Scholes: сравнение бок о бок

Bachelier (нормальная модель)

C = (S − K)·Φ(d) + σ_n·√T·φ(d)

d = (S − K) / (σ_n·√T)

Black-Scholes (логнормальная модель)

C = S·Φ(d₁) − K·Φ(d₂)

d₁ = (ln(S/K) + ½σ²T) / (σ·√T)

Спот (S)

$100

Страйк (K)

$105

Время (T, лет)

0.25

Нормальная волатильность (σ_n, $/год)

$20

Цена по Bachelier

$2.16

d = -0.500

Цена BS (σ_BS ≈ σ_n/S)

$2.37

σ_BS = 20.0%

Difference: $0.21 (9.7%) -- away from ATM, they diverge

Отодвиньте страйк от спота и посмотрите, как расходятся две цены. Вблизи ATM они почти совпадают, потому что линейное и логарифмическое приближения локально согласуются. Глубоко вне денег (OTM) модели расходятся: Башелье допускает отрицательные цены, а BS — нет.

Раздел 3

Нормальная волатильность и волатильность BS

Пересчёт между ними вблизи ATM прост: σ_n ≈ S · σ_BS. Плоская нормальная улыбка превращается в скошенную улыбку BS, потому что одно и то же движение в долларах даёт разный процент на каждом страйке.

Если спот $100, а волатильность BS 30%, нормальная волатильность равна примерно $30. Если спот падает до $50, те же $30 нормальной волатильности становятся 60% в терминах BS. В мире Башелье ничего не изменилось — а волатильность BS удвоилась.

Именно поэтому идеально плоская улыбка Башелье (одна нормальная волатильность для всех страйков) даёт скошенную улыбку BS. Для низких страйков одно и то же движение в долларах составляет больший процент. Для высоких — меньший. Кривая подразумеваемой волатильности BS наклоняется вниз слева направо.

Пересчёт вблизи ATM

σ_n ≈ S · σ_BS

σ_BS ≈ σ_n / S

Это приближение точно вблизи ATM, но ухудшается для страйков глубоко вне денег (OTM). Именно это ухудшение и создаёт кажущийся скью после пересчёта.

Интерактив ниже показывает два взгляда на один и тот же рынок. Башелье даёт одну волатильность. BS даёт кривую. Ни один из них не ошибается — это разные системы координат для одного и того же набора цен опционов.

Ложный скью: одни и те же цены, две системы координат

Представление Bachelier плоская

Представление BS со скью

Спот-цена$100

Нормальная волатильность$20

Левый график никогда не меняет форму. Это всегда прямая горизонтальная линия — по Bachelier одна волатильность для всех страйков. Правый график показывает те же цены опционов, пропущенные через математику Black-Scholes. Подвигайте ползунок спот-цены и посмотрите, как скью BS становится круче или более пологим. Рынок не изменился — изменилась лишь система координат.

Раздел 4

Когда модель Башелье — правильный выбор

Башелье — отраслевой стандарт для опционов на ставки, опционов на спреды и любых продуктов, где базовый актив может уходить в минус. Для криптоспота это не лучший выбор по умолчанию — но для продуктов на базис и ставку финансирования он идеален.

Процентные ставки: Когда ЕЦБ в 2014 году увёл ставки в минус, Блэк–Шоулз сломался. Логарифм отрицательного числа взять нельзя. Дески ставок по всему миру за одну ночь перешли с логнормального котирования на нормальное. Волатильность свопционов теперь котируется в базисных пунктах нормальной волатильности, а не в процентах логнормальной.

Спреды: Разница двух цен аддитивна по своей природе. Календарный спред, базисная сделка или кросс-валютный спред могут быть и положительными, и отрицательными. Башелье справляется с этим без ухищрений.

Продукты на финансирование: Ставки финансирования в крипте колеблются вокруг нуля и могут уходить в минус. Если вы оцениваете опционы на ставки финансирования, Башелье — их естественный язык.

Криптоспот: Цены положительны и демонстрируют эффект рычага (волатильность растёт при падении цены). Здесь естественнее логнормальный каркас. Используйте BS для спота, Башелье — для ставок и спредов.

Аддитивные (Башелье) и мультипликативные (BS) траектории

Bachelier: dS = σ_n·dW

BS: dS = S·σ·dW

Траекторий: 0Пересекли ноль: 0

Башелье (аддитивный шум, может уйти в минус)BS (мультипликативный шум, остаётся положительной)

Левая панель показывает траектории Башелье: аддитивный шум, симметрия, часть траекторий пересекает ноль. Правая панель показывает траектории BS: мультипликативный шум, всегда положительные значения, распределение с длинным правым хвостом. Добавляйте траектории и следите, сколько траекторий Башелье уходит в минус — это тот самый «баг», который для ставок оказывается преимуществом.

Раздел 5

Проблема ложного скью

Если котировать рынок Башелье в терминах Блэка–Шоулза, вы увидите несуществующий скью. Этот «скью» — всего лишь преобразование координат. Это самый важный урок этой страницы.

Представьте маркетмейкера, который оценивает опционы по плоской нормальной волатильности. Каждый страйк получает $20 нормальной волатильности. Никакого скью. Никакой улыбки. Единый показатель.

Теперь трейдер пересчитывает эти цены в подразумеваемую волатильность BS стандартным IV-солвером. Опционы с низкими страйками показывают более высокую волатильность BS, с высокими страйками — более низкую. Трейдер видит скью в путах и думает, что рынок закладывает риск обвала.

Но на этом рынке нет риска обвала. Скью — артефакт наложения нормального мира на логнормальную оптику. Движение на $20 при базовом активе $80 — это 25% в терминах BS. То же движение на $20 при базовом активе $120 — лишь 16,7%. Разные проценты, одно и то же движение в долларах.

Ложный скью: одни и те же цены, две системы координат

Представление Bachelier плоская

Представление BS со скью

Спот-цена$100

Нормальная волатильность$20

Левый график никогда не меняет форму. Это всегда прямая горизонтальная линия — по Bachelier одна волатильность для всех страйков. Правый график показывает те же цены опционов, пропущенные через математику Black-Scholes. Подвигайте ползунок спот-цены и посмотрите, как скью BS становится круче или более пологим. Рынок не изменился — изменилась лишь система координат.

На практике это важно, потому что:

Можно неверно диагностировать скью. Если деск ставок котирует в нормальной волатильности, а вы пересчитываете в BS, вы увидите скью, который на 100% является артефактом. Не торгуйте его.

Связь с SABR. Параметр бета в SABR определяет вашу позицию на спектре от Башелье к BS. Бета = 0 — чистый Башелье (нормальная модель). Бета = 1 — чистый BS (логнормальная). Большая часть «скью», видимого при бета = 0 в терминах BS, — тот же координатный артефакт.

Золотое правило: Прежде чем торговать скью, спросите себя: это свойство рынка или свойство модели? Плоское в одной системе координат может выглядеть скошенным в другой.

Что изучить дальше:

Блэк–Шоулз — логнормальный аналог

Модель SABR — через бету выбирает точку на спектре нормальная–логнормальная

Модель CEV — соединяет нормальную и логнормальную модели через параметр бета

Скью — как отделить артефакты модели от свойств рынка