Модель Башелье (нормальная модель)

Башелье (1900) — это первая модель ценообразования опционов, появившаяся на 73 года раньше Блэка-Шоулза. Изменения цены аддитивны и нормально распределены. Вместо моделирования процентных доходностей (логнормальный подход) Башелье моделирует изменения в долларах (нормальный подход). Цена может уйти в минус — баг для акций, но фича для процентных ставок.

У модели ровно один параметр: нормальная волатильность, измеряемая в абсолютных величинах (например, «$50/год» вместо «30%/год»). Улыбки нет. Если бы мир жил по Башелье, каждый опцион на любом страйке имел бы одну и ту же нормальную волатильность. Эта плоская улыбка — главное предсказание модели.

💡

Скью может быть артефактом модели

Башелье по построению даёт плоскую улыбку. Переведите эти цены в подразумеваемую волатильность Блэка-Шоулза — и получите скью. Этого скью нет на рынке: он возникает из-за того, что логнормальную математику навязывают миру, который может быть нормальным.

Исследуйте модель

Плоская синяя пунктирная линия — взгляд Башелье: одна волатильность для всех страйков. Зелёная кривая показывает те же цены опционов, выраженные в терминах Блэка-Шоулза. Понизьте спотовую цену и посмотрите, как кажущийся BS-скью становится круче — хотя в мире Башелье ничего не изменилось.

Интерактивное сравнение Bachelier и Black-Scholes

Типичная конфигурация. Улыбка Bachelier плоская по определению. Те же цены, пересчитанные в термины BS, дают скью.

Нормальная вол.20

Абсолютная волатильность в $/год (не в процентах)

Спот-цена (S)100

Ниже спот = более выраженный скью по BS

Плоская синяя пунктирная линия — взгляд Bachelier: одна волатильность для всех страйков. Зелёная кривая — те же цены опционов, пересчитанные в термины Black-Scholes. «Скью» — это артефакт модели, а не свойство рынка.

Что делает каждый параметр

• Нормальная волатильность: единственный параметр. Измеряется в абсолютных ценовых единицах в год (не в процентах). Нормальная волатильность 20 означает, что цена, как ожидается, сдвинется на $20 за год (одно стандартное отклонение). Все страйки получают одну и ту же волатильность — улыбка плоская.
• Спотовая цена: не меняет улыбку Башелье (она остаётся плоской). Но радикально влияет на BS-эквивалентную улыбку. При более низкой спотовой цене то же долларовое движение означает большее процентное движение, поэтому подразумеваемая волатильность в BS растёт — создавая кажущийся пут-скью.

Почему появляется «скью» в BS

Что происходит

Взгляд Башелье

Взгляд BS

Ценообразование ATM-опциона

Нормальная волатильность применяется напрямую

Логнормальная волатильность примерно равна normal_vol / spot

OTM-пут (низкий страйк)

Та же волатильность, что и ATM

Более высокая IV, потому что то же движение в $ = большее движение в % при более низкой цене

OTM-колл (высокий страйк)

Та же волатильность, что и ATM

Более низкая IV, потому что то же движение в $ = меньшее движение в % при более высокой цене

Снижение спотовой цены

Улыбка остаётся плоской

Вся кривая смещается вверх, путовое крыло становится круче

ℹ️

Бета в SABR выбирает каркас

Каркас SABR (улыбка при отключённой волатильности волатильности) зависит от беты. Бета = 0: Башелье. Бета = 1: Блэк-Шоулз. Бета определяет, где вы находитесь на спектре «нормальное — логнормальное».

Где используется Башелье

Рынок

Почему Башелье

Единица нормальной волатильности

Свопционы на процентные ставки

Ставки ушли в минус в EUR, JPY, CHF. BS ломается на нуле. Башелье — нет.

б.п./год (например, 50 б.п.)

Опционы на спреды

Спреды могут быть отрицательными. Аддитивная модель здесь естественна.

$/год или б.п./год

Опционы на CDS

Кредитные спреды естественно моделируются как аддитивные движения.

б.п./год

Крипто (нишевое применение)

Опционы на ставку финансирования или на базис, где базовый актив может уйти в минус.

%/год (в абсолютном выражении)

⚠️

Не для спотовых крипто-опционов

Спотовые цены криптоактивов положительны и демонстрируют эффекты плеча (волатильность растёт при падении цены). Логнормальная система координат (семейство Блэка-Шоулза) здесь более естественна. Башелье — правильный инструмент для ставок, спредов и всего, что может уйти в минус.

Башелье и Блэк-Шоулз: краткое сравнение

Башелье

Блэк-Шоулз

Динамика цены

Аддитивная (нормальная)

Мультипликативная (логнормальная)

Единица волатильности

$/год (абсолютная)

%/год (относительная)

Отрицательные цены?

Да (по замыслу)

Нет (логарифм отрицательного числа не определён)

Форма улыбки

Плоская по определению

Плоская только если мир действительно логнормален

Параметры

1 (нормальная волатильность)

1 (логнормальная волатильность)

Конвертация

σ_n ≈ σ_BS × S (вблизи ATM)

σ_BS ≈ σ_n / S (вблизи ATM)

Применение

Ставки, спреды, CDS

Акции, FX, крипто-спот

Формула конвертации

Вблизи ATM можно переводить одну волатильность в другую:

$$\sigma_{\text{normal}} \approx \sigma_{\text{BS}} \times S$$

Акция по $100 с BS-волатильностью 30$30 нормальной волатильности. Но это приближение перестаёт работать вдали от ATM — именно поэтому при конвертации цен Башелье и появляется «улыбка» BS.

💡

Плоская улыбка по определению

Башелье рассматривает изменения цены как аддитивные. Его улыбка плоская по определению. Скью, возникающий после перевода в термины BS, — это артефакт выбора модели, а не свойство рынка.

Обозреватель уравнений

Исследователь формул

Спот (S)

$

Страйк (K)

$

Дней до экспирации

дн.

Безрисковая ставка

%

Подразумеваемая вол. (σ)

%

Цена колла

$8300

Цена пута

$7890

Δ колла

0.555

d₁

0.102

Вега

$114

---

Проверьте свое понимание перед тем, как продолжить.

Q: Почему Башелье даёт плоскую улыбку, а Блэк-Шоулз — нет?

Q: Если взять цены опционов по Башелье и перевести их в подразумеваемую волатильность BS, получится пут-скью. Откуда он берётся?

Q: Когда для крипты стоит использовать Башелье вместо Блэка-Шоулза?

Q: Как связаны нормальная волатильность и волатильность BS вблизи ATM?

💡 Совет: Попробуйте ответить на каждый вопрос самостоятельно, прежде чем открывать ответ.

Формируем математическую интуицию

Изучить Башелье с нуляИнтерактивный урок · без предварительных знаний

Этот урок начинается с интуитивной ментальной модели на простом языке, затем разбирает нормальную волатильность, формулу ценообразования и то, почему плоская нормальная улыбка может проявиться как скью после перевода в термины Блэка-Шоулза.

---

См. также:

• Блэк-Шоулз — логнормальный аналог
• Модель CEV — мост между нормальным и логнормальным через параметр бета
• Модель SABR — использует бету для выбора точки на спектре «нормальное — логнормальное»
• Смещённая диффузия — другой способ работы с базовыми активами вблизи нуля
• Подразумеваемая волатильность — понятие, зависящее от выбранной модели
• Скью — как отделить артефакты модели от свойств рынка